Условная вероятность. Независимость

Определение 8.1.Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность события В в предположении, что событие А наступило.

Обозначение: Р(В|A) = P_A(B). Находится по формуле: Р(В|A)= (1).

Теорема 8.2. (умножение вероятностей)

Р(АВ)=Р(А)∙ Р(B|A)=P(B)∙P(A|B).

следует из формулы (1)

Теорема 8.3. (обобщённая теорема умножения вероятностей)

Р(А₁ А₂ …А_n)= Р(А₁) Р(А₂ | А₁) Р(А₃ | А₁ А₂) … Р(А_n | А₁ А₂ …А_n-1).

Р(А₁ А₂ … А_n-1 А_n) = Р(А₁ А₂ … А_n-1) Р(А_n | А₁ А₂ …А_n-1) =

=Р(А₁ А₂ … А_n-2)Р(А_n-1|А₁ А₂ …А_n-2)Р(А_n|А₁ А₂ …А_n-1) = … =

= Р(А₁) Р(А₂ | А₁) Р(А₃ | А₁ А₂) … Р(А_n | А₁ А₂ …А_n-1).

Пример 8.4. Студент знает 20 вопросов из 25. Преподаватель задаёт 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса.

Обозначим через А – студент знает все 3 вопроса, А₁ – знает первый вопрос, А₂ – знает второй вопрос, А₃ – знает третий вопрос.

А= А₁ А₂ А₃, Р(А)=Р(А₁ А₂ А₃)= Р(А₁)Р(А₂| А₁) Р(А₃| А₁ А₂)= ∙ ∙ <

Определение 8.5.События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)∙Р(B).

Свойство 8.6. События А и В независимы тогда и только тогда, когда Р(В|A)=P(B).

Пусть события А и В независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)∙Р(B), тогда Р(В|A)= = = Р(В).

Если Р(В|A)=P(B), то Р(В|A)= = Р(В), откуда Р(АВ)=Р(А)∙Р(B).

Определение 8.7.(независимости в совокупности) События А₁, А₂,…, А_n называются независимыми (или независимыми в совокупности), если:

1) Р(А_i А_j)= Р(А_i)Р(А_j), i j, i,j {1,2,…,n} – попарно независимы,

2) Р(А_i А_j А_k)= Р(А_i)Р(А_j) Р(А_k) , i j, j k, i,j,k {1,2,…,n} – независимы по три,

и т.д. ……

n-1) Р(А₁ А₂ … А_n)= Р(А₁)Р(А₂) … Р(А_n).

Замечание 8.8.Из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.