Введение в теорию инженерного эксперимента

6.1. Основы теории инженерного эксперимента. Основные определения
и понятия инженерного эксперимента. Активный и пассивный эксперимент

Некоторые слова и фразы, связанные с описанием экспериментов и экспериментальной аппаратуры, встречаются на протяжении всего курса. Часть из них является установившимися техническими терминами, тогда как другие используются разными авторами в различном смысле. Практически нецелесообразно в такой широкой области, как планирование эксперимента, применять термины, имеющие слишком узкий смысл. В большей части курса термины будут использоваться в указанном ниже смысле.

Оборудование для проведения эксперимента мы делим на три части: измерительные приборы, испытательная аппаратура и образец для эксперимента. Измерительные приборы (instrument) воспринимают, считают, считывают, измеряют, наблюдают, а затем записывают, хранят, корректируют и показывают все параметры, которые они должны «видеть». »

Испытательная аппаратура (test apparatus) —| это обычно все, что необходимо для проведения эксперимента, включая измерительные приборы и объект исследования.

Образец для испытаний (test piece) представляет собой объект, подвергаемый испытаниям, который при необходимости можно заменить другим. Не во всех экспериментах имеется образец для_испытаний. Например, при ис-пытании нового метода производства с использованием станков, материала и привлечением рабочих отсутствует какой-либо образец для испытаний. Однако если испытывается новый фрезерный станок, то этот станок и будет представлять собой образец для испытаний.

План эксперимента — это общий термин. Он определяет набор инструкций по проведению эксперимента, в которых указываются последовательность работы, характер и величина изменений переменных и даются указания о проведении повторных экспериментов.

Последовательность проведения эксперимента означает порядок, в котором вносятся изменения в работу испытательной аппаратуры.

Репликация обычно означает повторение эксперимента, но в более конкретном смысле — возвращение к первоначальным условиям. Если, например, проверяется работа вентилятора при определённых значениях скорости вращения, давления на всасывающем трубопроводе и расхода воздуха, то можно снять несколько повторных отсчётов без каких-либо изменений режима работы. Такое повторение эксперимента не является репликацией. Если же вентилятор работает при некоторых других значениях скорости, давления и расхода воздуха, а затем возвращается к первоначальным условиям и при этом снова снимаются отсчёты, то в этом случае имеет место повторение первого эксперимента (репликация). В сельскохозяйственных экспериментах и при проверке лекарственных препаратов репликация означает также ряд делянок, уход за которыми одинаков, или группу животных, получающих одинаковое лечение.

Термин переменная используется в самом широком смысле и означает любую варьируемую физическую величину. Если варьирование переменной происходит независимо от других величин, то имеем нвзависимую переменную. Если же физическая величина изменяется при изменении одной или большего числа независимых переменных, то она называется зависимой. Если некоторая физическая величина, оказывающая влияние на экспе-римент, изменяется случайным образом и её нельзя контролировать, то она называется внешней переменной. Например, входное напряжение и выходная нагрузка электродвигателя могут изменяться независимо друг от друга по желанию исследователя. Коэффициент полезного действия, температура обмотки и входной ток могут служить примерами зависимых переменных, а окружающая температура и колебание частоты тока в линии (возможно, вследствие плохой стабилизации генератора) являются внешними переменными.

Обычно независимые переменные могут устанавливаться на выбранных уровнях в соответствии с принятым планом эксперимента.

В контролируемом эксперименте влияние внешних переменных исключено н независимые переменные можно изменять в точности по желанию исследователя. Проведение контролируемого эксперимента или изоляция его от окружающих условий является одним из основных принципов научного исследования.

Измерения независимых, зависимых, а часто и внешних переменных осуществляются с помощью приборов. Для каждой измеряемой величины будем рассматривать «наилучшее» или «наиболее вероятное» значение. «Наилучшее» значение всегда можно сделать ещё лучшим, применяя более дорогие измерительные приборы, снимая повторные отсчёты или привлекая более квалифицированный персонал. Таким образом, слово «наилучший» употребляется в относительном смысле и имеет определённые утилитарные и экономические оттенки.

В зависимости от стандартов точности, принятых для данного эксперимента, измерения могут быть точными или неточными. В разд. 2 рассматривается систематическая ошибка, представляющая собой фиксированную ве-личину отклонения отсчёта относительно известного или калиброванного значения независимо от того, сколько раз производится измерение. Таким образом, систематическая ошибка имеет постоянную величину.

При измерениях могут возникать случайные ошибки, при этом величина ошибки зависит от того, насколько хорошо прибор может воспроизвести последовательные отсчёты при постоянном входном воздействии. Таким образом, случайная ошибка не имеет фиксированного значения, подобно систематической ошибке; она будет различной при каждом повторном снятии отсчёта. С помощью статистических методов для каждого прибора можно определить средние значения случайных ошибок.

Ошибка выражается некоторым числом, например 2 об/мин, 0,6 °С, 15 ом и т. д., и определяется как разность между калиброванным или известным отсчётом и отсчётом, снятым с приборе. Таким образом, ошибку можно знать или предсказать только в том случае, если удается прокалибровать или каким-либо другим способом проверить испытательную аппаратуру.

Неопределённость (неточность значения) представляет собой оценку ошибки. Под неопределённостью подразумевается «ошибка, какой она будет, если бы не удалось измерить путем калибровки»¹. В данном случае неопределённость, как и случайная ошибка, будет анализироваться статистическими методами.

Итак, мы определили три вида отклонений от точного отсчёта. Если при повторном снятии показаний приборов отклонение от известного значения имеетфиксированную величину, то мы имеем систематическую ошибку. Если при повторном снятии отсчётов результат каждый раз отклоняется на различную величину относительно известного значения, то имеем случайную ошибку. Если невозможно прокалибровать прибор или произвести повторные измерения (испытательная аппаратура ещё может быть даже не создана), все же можно оценить ошибку, которая будет систематической или случайной либо «представлять собой некоторую их комбинацию. При проведении серии испытаний испытательная аппаратура устанавливается в определённое фиксированыесостояние или включается по определённой схеме производится запись всех измерений. Обычно в результатекаждого испытания получают определённую точку илиэкспериментальный отсчёт. При этом имеется "ввиду некоторая фактическая точка на реальном или изображаемом графике, изображающем результаты эксперимента. В этом курсе термин «точка» имеет почти тот же смысл, что и «испытание», однако обычно его употребляют в тех случаях, когда имеется в виду фактическая точка на графике.

Термин данные относится ко всем символическим «продуктам» эксперимента- Так, данными могут быть фотоснимки, импульсы на магнитной ленте, цифры, записанные на бумаге, показания механических счётчиков, простые ответы типа «да — нет» и т. д. Данные не являются образцами продукции, изготовленными при заводских испытаниях, а представляют собой записанные или запоминаемые величины, характеризующие эти образцы. Необработанные данные — это информация, записанная в символическом виде, получаемая непосредственно с измерительных приборов. обработанные данные-—это та же информация после выполнения над ней некоторых математических операций, например таких, как внесение исправлений с помощью калибровочной кривой или построение графика.

Обработанные данные, нанесенные на графику, образуюткривую; они могут также привести к некоторому функциональному соотношению между независимыми и зависимыми переменными, которое обычно записывается в виде формулы.

Эти соотношения могут быть более или менее значимыми, при этом причинная зависимость в одних случаях может быть довольно очевидной, а в других — совершенно незаметной. Иногда достаточно построить простой график, чтобы обнаружить такую зависимость, а в других случаях может использоваться некоторый статистический критерий значимости. Статистический анализ неизбежно связан с распределениями показаний приборов или других величин. При обсуждении общих положений математической статистики мы часто рассматриваем совокупности ошибок, данных и т. д., при этом имеются в виду бесконечные совокупности ошибок, данных и т. д. Таким образом, во всех случаях рассматривается генеральная совокупность. При проведении эксперимента получают некоторую конечную выборку отсчётов из бесконечной совокупности. Чем больше выборка, тем лучше её распределение приближается к распределению генеральной совокупности.

6.2. Математический анализ данных

Невозможно провести чёткую границу между чисто статистическим анализом и графическим анализом, ко­торый в свою очередь отличается от математического анализа. Метод наименьших квадратов позволяет полу­чить математическое выражение кривой, которое нахо­дится чисто численными способами и имеет прочную ста­тистическую основу. Почти все, что можно сказать в за­щиту такого довольно произвольного деления, исполь­зуемого в последних четырёх разд. данного курса, это то, что вывод некоторых аналитических методов основан главным образом на статистических методах, рассмотрен­ных в разд. 8. Другие методы связаны с графическими по­строениями (они описаны в разд. 9). Вопросы, которые не были рассмотрены в этих двух разделах, собраны в дан­ном разделе и названы математическими методами, хотя в некоторых случаях лучше было бы назвать их численными методами. Кроме того, необходимо подчеркнуть, что в ли­тературе накоплен обширный материал по математиче­скому анализу экспериментальных данных; здесь мы мо­жем очень кратко коснуться лишь некоторых наиболее важных и элементарных вопросов. Такие важные методы, как гармонический анализ, численное решение дифферен­циальных уравнений, построение номограмм, и множест­во других вопросов можно найти в соответствующих спра­вочных пособиях. Значительную часть этого специального материала экспериментатор обычно никогда не усваивает, тем более что он всегда может обратиться за помощью к специалистам. Методы, изложенные в данной разделе, яв­ляются довольно простыми, носят общий характер и используются многими экспериментаторами.

Значащие цифры.

Вопрос о значащих цифрах, вероятно, следовало бы рассмотреть ранее, хотя именно при операциях с числами и вычислениях они приобретают наибольшую важность. Значащие цифры несут информацию о значении измеряе­мой величины. Если например, измеренная ёмкость кон­денсатора равна 0,213 мкф, т. е. известны три значащие цифры, то этот факт не изменится, если ёмкость записать как 0,213- 10~^в ф или 213 000 пкф. При записи таких боль­ших чисел, как последнее, возможна путаница, так как можно подумать, что ёмкость действительно известна с точностью до шестой цифры. Чтобы исключить такие недоразумения, лучше всего записывать эту величину как 213-10³ пкф.

Как и следовало ожидать, число значащих цифр выбирается исходя из результатов анализа неопределённости, рассмотренного в разд. 2 и 3. Если, например, неопределён­ность измерения составляет 10%, то в лучшем случае мы можем указать не более двух значащих цифр. Напри­мер, такой отсчёт, как 98, означает, что результат заклю­чен между 97 и 99, но в то же время с вероятностью 10% он может лежать между 95 и 101 или даже в более широ­ких пределах. При неопределённости, равной 1%, мы можем указать три цифры, при 0,1% —четыре и т. д. В естественном стремлении несколько оптимистически оценивать ошибку нет ничего плохого, если только этим не злоупотреблять.

Как показано в разд. 3, при обработке данных ошибки определённым образом комбинируются. Если допустить небрежность, то можно потерять значащие цифры. Пред­положим, что при испытаниях на коррозию определяется потеря веса. Перед испытаниями вес образца составлял 1,54 кГ, а после испытаний — 1,52 кГ. Потеря веса со­ставляет 0,02 кГ, т. е. мы имеем только одну значащую цифру. Пусть требуется сравнить этот результат с резуль­татом при другом испытании, который также оказался равным 0,02 кГ. Очевидно, что мы не можем прийти к ка­кому-либо выводу. Значащие цифры практически исчез­ли, поэтому в этом случае необходимо использовать весы, которые позволяли бы получить четыре, а то и пять зна­чащих цифр.

Если исследователю предстоит большой объём обработ­ки данных с применением технических средств или вычис­лительных машин, то обычно в запасе необходимо иметь хотя бы одну значащую цифру. Пусть необходимо воз­вести в квадрат скорость 107 м/сек, точный результат равен 11 449 м²/сек². Поскольку вначале мы имели три значащие цифры, то, округляя, получаем 11400. Допу­стим теперь, что к 11 449 нужно прибавить 6540, точный результат равен 17 989, а прибавляя 6540 к округлённому числу, получаем только 17 940. Таким образом, при округ­лении мы потеряли одну единицу третьего разряда. Если бы мы округлили 11 449 до четырёх знаков, что даёт 11 450, то, прибавив к этому числу 6540, получили бы 17 990, а при округлении окончательного результата получили бы 18 000 (это число лучше записать как 180-10²). В цифровых вычислительных машинах числа мо­гут иметь до 12 знаков, и такие ошибки округления экспериментатор может практически исключить. Как только последовательность вычислений будет закончена, необходимо округлить результат до намеченного числа цифр, с тем чтобы он не вызывал у читателя недоверия или подозрения.

Стандартная логарифмическая линейка длиной 25 см при выполнении операций умножения и деления даёт максимальную неопределённость 0,3—0,5% (для 95% всех отсчётов). Для линейки длиной 50 см неопределён­ность в два раза меньше, а для спиральной линейки, имеющей шкалу длиной 150 см, она меньше в шесть раз. На такой линейке можно выполнять вычисления с точ­ностью до четырёх знаков, а для малых чисел — с точ­ностью до пяти знаков. Четырёхзначные таблицы ло­гарифмов имеют точность до четвертого знака, и один знак необходимо добавлять в случае интерполяции. Точ­ность номограмм, диаграмм и графиков в каждом случае необходимо устанавливать отдельно. Если графики по­строены с соблюдением рекомендаций, изложенных в разд. 9.4, то инженер может снимать результат с точ­ностью до половины наименьшего деления шкалы. При проведении эксперимента нельзя применять приборы, имеющие различную точность. Точно так же неразумно применять точные приборы, имеющие ошибку порядка 0,1 %, если получаемые данные будут обрабатываться с помощью простой логарифмической линейки. Аналогично продол­жительные и утомительные вычисления на настольной счётной машине, имеющей большое число разрядов, пред­ставляют собой лишь напрасную потерю времени, если данные были получены с неопределённостью 5%.

В этом курсе рассмотриваются некоторые общие ме­тоды анализа экспериментальных данных. Основным тре­бованием для всех экспериментов, связанных с получе­нием количественных результатов, является правильный выбор числа значащих цифр при обработке и анализе данных. Если число значащих цифр мало, то при об­работке данных может ухудшиться точность либо могут потеряться значащие цифры, а при слишком большом чис­ле значащих цифр существенно усложняются вычисления и увеличивается объём работы как при ручном счёте, так и при использовании вычислительных машин. Кроме того, излишние значащие цифры в отчётах о результатах эксперимента могут ввести в заблуждение, и они неверны в том смысле, что показывают точность эксперимента, которая в действительности не была достигнута. Если у исследователя имеются какие-либо опасения, то все же лучше застраховаться и выбрать несколько дополнитель­ных значащих цифр, так как при слишком малом их чис­ле могут накапливаться ошибки округления.

Когда кривую нельзя подобрать методом наименьших квадратов или другим графическим методом, то обычно подбирается общий многочлен типа (10.1). Формальный метод решения задачи основан на использовании опреде­лителей и допускает применение цифровой вычислитель­ной машины. Когда подбор многочлена осуществляется от руки, часто можно получить решение быстрее, преоб­разовав систему координат XY таким образом, чтобы одна из постоянных многочлена оказалась равной нулю. Важ­ную роль при решении уравнения играет выбор точек. При неправильном выборе точек часто получают неудовле­творительную точность на участках кривой, которые имеют сложную форму. Практическое правило состоит в

том, что необходимо брать точки в области предельных значений, а затем в области, где наклон кривой изменяет­ся наиболее резко, где кривая имеет пик или точку пере­гиба. Подбираемое уравнение всегда следует проверять через определённые интервалы на точность соответствия. Если для произвольных точек не удаётся подобрать урав­нение, то это означает, что просто необходимо взять мно­гочлен более высокого порядка.

В некоторых случаях исследователь не желает зани­маться выводом эмпирической формулы, но ему необхо­димо найти некоторое промежуточное значение, которое не было получено при проведении эксперимента. Это зна­чение можно найти, нанеся данные на график и проведя интерполяцию, однако точность этого метода зависит от точности построения кривой. Недостатком линейной ин­терполяции является то, что в этом случае используются не все данные, а только две соседние точки. Наилучшим и наиболее стандартным методом является применение формулы Лагранжа. Эта формула позволяет обработать любое количество точек, и при желании её можно исполь­зовать и для экстраполяции. Точность этого метода не зависит от того, кто именно выполняет анализ.

Если имеется математическая зависимость, полученная путём графического анализа или подбором многочлена, то дифференцирование и (или) интегрирование позволяют получить новую информацию. Дифференцирование даёт возможность определить точные значения максимумов и минимумов и точки перегиба или изменения наклона кри­вой; каждая из этих точек может представлять большой теоретический интерес. Интегрирование позволяет опре­делить площадь под кривой. Применение этого математи­ческого аппарата не требует детального знакомства с тео­ретическими аспектами эксперимента и его применение наиболее результативно, если инженер имеет хорошую математическую подготовку.

Как уже отмечалось, в данной разделе были лишь поверх­ностно рассмотрены методы анализа экспериментальных данных. Если читатель начнёт применять эти простейшие методы в экспериментальной работе, то вскоре он сможет освоить более изящные и более сложные аналитические методы.

6.3. Терминология: два вида ошибок статистического вывода

Наи­более важным является такое понятие, как значимость эксперимента или результатов эксперимента. Можно утверждать, что эксперимент, в котором 20 образцов стали марки А разрушились при давлении 4200 ± 350 кГ/см², а 20 образцов стали марки В разрушились при давлении 5600 ± 350 кГ/см², является высокозначи­мым, поскольку он доказывает, что сталь марки В имеет более высокую прочность. Математик не станет возра­жать против этого мнения, хотя он может порекомендо­вать провести проверку значимости, которая позволила бы представить этот высокозначимым результат в виде некоторого числа. Если бы у 20 образцов стали марки В прочность оказалась равной 4430 ± 350 кГ/см², то мы выразили бы сомнение в том, является ли сталь марки В более прочной, и статистический метод проверки был бы более необходим. При выполнении статистических проверок, ряд которых будет описан в последующих разделах, рассматривается возможность появления двух типов оши­бок статистического вывода.

Ошибка первого рода имеет место, когда наблюдаемым различиям приписывается некоторый реальный эффект, а в действительности ника­кого эффекта нет. Так, можно утверждать, что сталь марки В (с прочностью 4430 ± 350 кГ/см²) определённо прочнее стали марки А, и приступить к закупкам и использова­нию только стали марки В. Последующие исследования (на более крупных выборках) могут показать, что между этими марками стали по существу нет различия, так что выбор на основе первоначальной выборки из 20 образцов сталь марки В, означает, что допущена ошибка первого рода.

Для уменьшения вероятности ошибки первого рода необхо­димо, чтобы результаты испытаний имели высокую зна­чимость, но тогда увеличивается риск появления ошибки второго рода, которая имеет место, когда игнорируется реальный эффект или различие, которое в действительности существует. Например, можно решить, что различие между марками стали А и В не является значимым, и применять обе марки, не проводя между ними различий. Последую­щие испытания могут показать, что сталь марки В прочнее, чем сталь марки А, и что допущена ошибка второго рода.

Эти идеи могут показаться довольно очевидными, одна­ко они освещают некоторые существенные аспекты ста­тистического вывода, играющие особенно важную роль при решении инженерных задач. Большинство инженер­ных экспериментов приводит в конечном счёте к тому или иному действию, и нет какого-либо определённого правила, устанавливающего нежелательность ошибок пер­вого рода по сравнению с ошибками второго рода. Если испытывается устройство раскрытия парашюта, то про­стые соображения гуманности заставляют избегать воз­можности появления ошибки второго рода (которая со­стоит в том, что не будет выбрано действительно наилуч­шее устройство), в то время как ошибка первого рода (выбор наиболее дорогого устройства, которое кажется надёжнее других) не является столь серьёзной.

И наобо­рот, если из большой группы реле требуется выбрать реле для установки на дешёвую детскую игрушку, то ошибка второго рода (состоящая в том, что не будет выбрано са­мое лучшее реле), по-видимому, не столь серьёзна, как ошибка первого рода (выбор реле определённой конструк­ции, которое в действительности не лучше других, но более дорогое).