Нахождение оригинала по изображению
В общем случае нахождение оригинала по изображению достигается использованием теоремы обращения:
. (1)
Однако для произвольных это приводит к большим трудностям. Мы рассмотрим несколько удобных приемов нахождения в предположении, что отношение двух многочленов, причем степень многочлена стоящего в знаменателе больше степени многочлена стоящего в числителе. Разложив на простейшие дроби, получим
,
где – комплексные числа, – нули знаменателя , – их порядок. Пользуясь формулой 10 таблицы соответствия и теоремой линейности, легко получить
и .
Часто бывает удобнее разложить изображение на простейшие дроби вида
, , .
При этом также можно использовать формулы таблицы соответствия.
Пример 1. .Найти .
Решение. Разложим дробь на простейшие дроби:
,
.
Полагая , получим , при , получим , при , имеем .
.
Используя теорему линейности и таблицу соответствия (формулы 2,10), получим
.
При нахождении по иногда целесообразно использовать теорему о произведении изображений (теорему о свертке).
Пример 2. .Найти .
Решение
В некоторых случаях удобно использовать формулу Дюамеля.
Пример 3. .Найти .
Решение. ;
; .
По формуле Дюамеля имеем
Можно находить по , используя теорию вычетов (теорему разложения, которая выводится из (1)). А именно: если отношение двух многочленов, причем степень многочлена стоящего в знаменателе больше степени многочлена стоящего в числителе, то
(2)
где – полюса функции .
Пример 4. .Найти оригинал.
Решение. Функция имеет два полюса: – полюс второго порядка и – полюс первого порядка. По формуле (2)
.
Находим вычеты:
.
.
Если все полюса функции первого порядка, то формула принимает вид
,
где сумма берется по всем корням .
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 135;