Преобразование Лапласа и его свойства

Функцией – оригиналом будем называть любую комплекснозначную функцию действительного аргумента , удовлетворяющую следующим условиям:

непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка на всей оси , кроме отдельных точек, в которых или ее производные терпят разрыв I-го рода, причем на каждом конечном интервале оси таких точек имеется лишь конечное число;

для всех отрицательных ;

возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные , , что для всех . Наименьшее число , для которого выполняется это неравенство, назовем показателем роста ; для ограниченных оригиналов можно, очевидно, принять .

Простейшей функцией – оригиналом является так называемая единичная функция или функция Хэвисайда

Очевидно, умножение функции на «гасит» эту функцию для и оставляет без изменения для . Если функция удовлетворяет условиям 1 и 3 и не удовлетворяет условию 2, то произведение

будет удовлетворять и условию 2, то есть будет оригиналом (например, , , и т.д.). Для простоты записи будем, как правило, опускать множитель , условившись, что все функции, которые будем рассматривать, равны нулю для всех отрицательных . Например, вместо будем писать 1, вместо – просто и так далее.

Изображением функции (по Лапласу) или преобразованием Лапласафункции называют функцию комплексного переменного , определяемую соотношением . Связь оригинала и изображения будем записывать так:

.