По теореме о дифференцировании оригинала имеем

, .

Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа, получим алгебраическое уравнение

, или

, .

Отсюда

.

Переходя от этого изображения к оригиналу, получим искомую функцию .

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения , .

Решение. Пусть ; ;

; .

Запишем операторное уравнение:

.

Откуда

.

Используя теорему линейности и таблицу соответствия формула (2), получим

.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , , .

Решение. ; .

; ;

.

Используя таблицу соответствия формула (10) и теорему линейности, получим

.

Отметим особую роль формулы Дюамеля при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

(3)

при нулевых начальных условиях. Если известно решение уравнения

(4)

с той же левой частью, а правой частью, равной 1, при нулевых начальных условиях, то формула Дюамеля позволяет записать решение данного уравнения без всяких вычислений. В самом деле пусть ,

Тогда операторные уравнения, соответствующие уравнениям (3), (4), имеют вид

, ,

откуда .

Тогда, согласно формуле Дюамеля,

или ,

или ,

или .

Пример 3.Найти решениедифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями, , .

.

Решение. Решаем сначала уравнение с теми же начальными условиями операционным методом:

, ; ; ;

;

разложим на простейшие дроби:

;

;

.

Используя теорему линейности и формулы соответствия, получим

, .

Применяя формулу Дюамеля, имеем