Общие сведения о нелинейных системах

Система автоматического управления относится к классу нелинейных систем автоматического управления (НСАУ) если хотя бы одно из ее звеньев описывается нелинейным уравнением, связывающим вход и выход звена (рис.1).

Рис. 2.1

Различают статические и динамические нелинейности. В первом случае связь и описывается алгебраическим уравнением , а в случае динамической нелинейности переменные и связаны дифференциальным, разностным или интегральным уравнениями. Например, зависимость будет характеризовать нелинейное динамическое звено, где – производная по времени.

Нелинейные звенья во многих случаях появляются в САУ объективно, т.к. многие реальные элементы нелинейны (усилители, реле, исполнительные двигатели, редукторы, элементы рассогласования и т.п.). С другой стороны, нелинейные элементы могут специально вводиться в систему для придания ей определенных показателей качества. Во многих случаях для построения оптимальных САУ требуется введение законов управления, реализуемых с помощью нелинейных элементов.

В отличие от линейных систем процессы, протекающие в НСАУ, более сложны и многообразны, в связи с чем более сложными оказываются и методы их исследования. Поэтому при анализе НСАУ наиболее часто используют два этапа. На первом этапе, если это возможно, все нелинейные элементы линеаризуют [1], сводят систему к линейной (линеаризованной) и исследуют ее линейными методами. На втором этапе пытаются при анализе учесть те или иные свойства нелинейных элементов. Однако, в случае существенных нелинейностей, особенно разрывных (релейных), линеаризация часто оказывается недопустимой и САУ изначально следует рассматривать как нелинейную.

Количество линейных и нелинейных элементов, их типы, а также места включения могут быть разнообразными. В рамках излагаемого материала будут рассматриваться только нелинейные САУ с одним нелинейным элементом статического типа и остальными линейными элементами. Структура такой системы представлена на рис. 2 2, где НЭ – нелинейный элемент статического типа, ЛЧС – линейная часть системы.

Рис. 2.2

К структуре НСАУ рис. 2.2 можно свести многие нелинейные системы. Эту структуру будем рассматривать как базовую при исследовании нелинейных САУ. Линейная часть системы (ЛЧС) описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или, как принято в теории автоматического управления, передаточной функцией [1].

Нелинейные зависимости могут быть непрерывными, разрывными, периодическими и т.п. На рис. 2.3 представлены в качестве иллюстрации две: а – нелинейная характеристика реального усилительного звена с насыщением и б – элемента сравнения фаз двух гармонических сигналов (фазового детектора).

Рис. 2.3

Реальные характеристики нелинейного элемента могут иметь сложный вид и сложные математические выражения. Поэтому в теории НСАУ их часто заменяют на идеализированные, аппроксимируя реальные кривые отрезками прямых линий. На рис. 2.4 представлены некоторые из таких идеализированных характеристик.

Рис. 2.4

Характеристика на рис. 2.4, а является идеализированной по отношению к реальной характеристике рис. 2.3, а и характеризует, так называемое, „насыщение”. Аналитическое выражение для этой характеристики будет

(2.1)

где .

Характеристика на рис. 2.4, б – это характеристика идеального реле или

(2.2)

Характеристика на рис. 2.4, в характеризует так называемую зону „нечувствительности” при

(2.3)

Характеристика рис. 2.4, г характерна, например, для аналого-цифрового преобразователя. Нелинейные характеристики других видов можно найти в литературе по теории автоматического управления, например в [6].