Правильный шестиугольник

С правильными шестиугольниками, превышая требования про­граммы, можно познакомить учащихся, занимающихся в кружках по математике, проявляющих наибольший интерес к этому предмету. Это целесообразно сделать уже в V классе.

Из множества многоугольников учитель предлагает отобрать все шестиугольники (среди которых есть и правильные), измерить их стороны и выбрать только фигуры с равными сторонами. Учитель сообщает, что шестиугольники, у которых все стороны равны, на­зываются правильными.

Для их построения учитель просит всех начертить окружности. «Чтобы разделить окружность на 6 равных частей,— говорит учи­тель,— надо взять точку на окружности, поставить в нее ножку циркуля и раствором циркуля, равным радиусу этой окружности, провести дугу, затем переставить ножку циркуля в точку пересе­чения дуги с окружностью и т. д. Окружность будет разделена на 6 равных частей. Соединим отрезками эти точки. Какую фигуру получим? Измерим стороны шестиугольника. Как называется такой шестиугольник?»

Учащимся следует показать, что если соединять полученные точки хордами через одну, то можно получить правильный треуголь­ник. Если в окружности провести два взаимно перпендикулярных диаметра и соединить их концы, то получим правильный четырех­угольник (квадрат).

Построение правильного шестиугольника требует точности, акку­ратности: не должен изменяться раствор циркуля, иголка ножки циркуля должна помещаться точно в точку пересечения дуги и окружности. Детям с нарушениями координации, с несовершенной моторикой не сразу удается выполнить построение с той тщатель­ностью, которая здесь требуется. Поэтому возникает необходимость многократного повторения данного упражнения. Чтобы не ограничи­ваться отработкой исключительно навыка, следует внести в упраж­нение некоторое разнообразие. Разделив окружность, соединив точки, полученные от пересечения окружности и дуг, дети построят пра­вильный шестиугольник. Каждая его сторона равна радиусу. Значит, можно это упражнение задавать и так: построить шестиугольник, нее стороны которого равны 5 см (10 см и т. п.). Учащиеся должны знать, что окружность, с которой начинается построение, должна иметь радиус, равный 5 см (10 см и т. п.).

Если из центра окружности провести радиусы в вершины шести-

угольника, он будет разделен на шесть равносторонних треугольников, эти треугольники остроугольные.

Если соединить отрезками точки пересечения окружности и дуг не подряд, а через одну, будет построен треугольник. Измеряя его стороны и углы, учащиеся приходят к выводу, что он равносторонний и остроугольный.

Если не соединять точки пересечения окружности и дуг, а только провести радиусы (в каждую точку или через одну), то круг будет разделен на шесть или на три равные части.

Можно также, построив шестиугольник, провести в его вершины радиусы, а затем построить еще одну окружность с тем же центром, но меньшего радиуса. Соединив затем точки пересечения новой окружности с радиусами, можно получить новый шестиугольник, который будет находиться внутри первого, и т. д.

При изучении многоугольников всех видов надо постоянно рас­сматривать с учащимися многоугольник и его границу — ломаную линию; требовать от учащихся показать фигуру, например квадрат, и его границу, т. е. ломаную линию, состоящую из четырех равных отрезков; время от времени (даже в старших классах) предлагать учащимся начертить и заштриховать фигуру.

Периметр

В IV, V классах учащиеся познакомились с измерением лома­ной линии и вычислением ее длины. Это служило подготовкой к вычислению периметров многоугольников (треугольников, четырех­угольников). Они узнали, что длину ломаной можно получить, если измерить каждый отрезок и найти сумму их длин или провести произвольную прямую и на ней от определенной точки последова­тельно (друг за другом) отложить отрезки ломаной линии, а затем измерить полученный отрезок.

Впервые представление о периметре учащиеся получают в VI классе. Например, надо определить периметр треугольника. Учи­тель берет модель этой фигуры, укладывает нитку сначала по первой стороне и делает отметку, продолжение нитки откладывает по второй стороне и опять делает отметку и т. д., затем развора­чивает нитку. Ее длина представляет собой периметр данного треугольника. Можно обозначить периметр буквой Р, Р_т =...

Вычисление периметра треугольника сравнивают с вычислением длины ломаной, состоящей из трех отрезков. В том и другом случае измеряется каждый отрезок (сторона) и находится их сумма.

При вычислении периметра равностороннего треугольника уча­щиеся могут записать: Р_р= □ х 3, где □ — длина стороны треуголь­ника. Чтобы избежать впоследствии смешения вычисления периметра с вычислением площади, необходимо показать, как можно развернуть при помощи циркуля границу треугольника в отрезок прямой, т. е. решить геометрическую задачу на нахождение суммы трех отрезков,

а затем измерить полученный отрезок (это второй способ нахождения периметра).

Знакомство с периметром любого прямоугольника должно про­ходить путем использования уже имеющегося опыта учащихся в нахождении длины ломаной и периметра треугольника.

Учитель предварительно спрашивает учащихся о периметре тре­угольника и затем сообщает, что периметр любого многоугольника — что сумма длин его сторон. Далее учитель предлагает всем взять модели квадрата и показать границу квадрата, т. е. обвести стороны квадрата. «Как найти их сумму?» — спрашивает учитель. Учащиеся отвечают: «Надо измерить каждую сторону и сложить числа, полу­ченные от измерения». Например, длина стороны квадрата 5 см (более сильные учащиеся сразу скажут, что в квадрате достаточно измерить одну сторону). Периметр (Р_кв) равен сумме~ длин его сторон: Р_кв = 5 см + 5 см + 5 см + 5 см; Р_кв = 5 см х 4 = 20 см.

Учащимся надо показать и геометрический способ определения периметра квадрата: на произвольной прямой ставится точка и от нее последовательно (друг за другом) откладываются 4 одинаковых отрезка, равных стороне квадрата, затем измеряется полученный отрезок.

При вычислении периметра прямоугольника дети также измеряют стороны фигуры и складывают две пары равных чисел:

Р_пр=5 см+ 8 см + 5 см + 8 см или

Р_пр = 5 см + 5 см + 8 см + 8 см

Это же выражение можно записать короче: Р_пр=5 см-2+ 8 см-2.

Вычислить периметр несложно, поэтому это задание можно вклю­чать в устный счет.

Возможны и другие задачи. Например, зная периметр квадра­та (16 см), вычислить длину его стороны или построить квадрат, периметр которого равен 16 см. Когда задан периметр квадрата, сторона его определяется однозначно. Но когда задается периметр прямоугольника, тогда может быть несколько ответов. Поиск длин сторон, проверка решений являются интересными упражнениями для учеников.

При изучении периметров геометрических фигур учитель может ввести буквенное обозначение длин сторон и познакомить учащихся с формулами вычисления периметров многоугольников (сверх про­граммы, только для сильных учащихся).

Если длину одной стороны обозначить буквой а, а другой — буквой b, то можно записать формулу вычисления периметра прямо­угольника:Р_пр=а х 2 + b х 2. Выражение Р_пр=5 см + 8 см + 5 см + 8 см можно представить и так: Я =(5 см + 8 см)+ (5 см + 8 см) или Р_пр = (5 см + 8 см) х 2, тогда Р_пр = (а + Ь)>2. Таким образом, школьники будут знать и уметь пользоваться тремя формулами: Р_кв = а х 4, Р^,_|ф = а х 2 + b х 2 или Р_пр = (а + b) х 2. Данная запись формул непосредственно вытекает из приема замены сложения умножением, который известен учащимся. Более способные учащиеся не только применяют данные формулы, но и объясняют, как они были получены.

В дальнейшем можно придать формулам привычный для математи­ческих записей вид: Р_кв = 4а, Р_пр=2а + 2b или Р_пр=2 (а + b).

В VII классе вычисляется периметр параллелограмма любого вида. С помощью модели, чертежей этих фигур доказывается, что формула вычисления периметра ромбатакая же, как квадрата: Р_ром6а= а х 4, где а — сторона ромба, а формула вычисления пери­метра любого параллелограмматакая же, как прямоугольника

Р_паралл = а х 2 + b х 2 или Р_таралл = (а = b) х 2, где а и b— стороны параллелограмма.