Преобразование Лапласа как метод анализа линейных схем

В рамках настоящего пособия «Основы схемотехники дискретно-аналоговых ИМС» рассматриваются схемотехника и методы исследования линейных КМДП дискретно-аналоговых интегральных схем. Как известно, все множество параметров линейной схемы по определению не зависит от уровня (величины, амплитуды) входного по отношению к схеме сигнала . По этой причине взаимосвязь входного и выходного сигналов может быть выражена линейной функцией.

Если сигналы рассматриваются во временной области, то используется импульсная характеристика (функция) в сочетании с интегралом Дюамеля («свертки»). Если известны входной сигнал и импульсная характеристика линейной схемы, то сигнал на выходе схемы определяется из следующего выражения [1 – 4]:

(1.1)

Другим общепризнанным методом анализа линейных схем является спектральный метод . В рамках этого метода в теории связи наибольшее распространение получил метод преобразование Лапласа [1 – 4], которое:

– в отличие от преобразования Фурье, не ограничено использованием только сигналов, описываемых абсолютно интегрируемыми функциями;

– позволяет решать линейные интегро-дифференциальные уравнения методами алгебры;

– в отличие от анализа во временнòй области позволяет не только описывать нестационарные (переходные) процессы, но также получать и анализировать стационарные амплитудно-частотные и фазочастотные особенности.

Исчерпывающей характеристикой линейной схемы в спектральном методе является передаточная функция , специфическая для каждой системы. При подаче на вход линейной системы сигнала , сигнал на выходе находится следующим образом:

(А) определяется ИЗОБРАЖЕНИЕ входного сигнала на комплексной плоскости :

(1.2)

(В) изображение входного сигнала умножается на передаточную функцию системы, в результате чего получается изображение сигнала на выходе линейной системы:

(1.3)

(С) из изображения сигнала на выходе определяется ОРИГИНАЛ выходного сигнала:

(1.4)

Интегрирование в выражении (1.4) производится в комплексной плоскости вдоль прямой, проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии от последней и замыкается вдоль дуги бесконечно большого радиуса, образовывая замкнутый контур интегрирования. При этом внутри контура должны находиться все полюсы подынтегральной функции, и значение в этом случае равно сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции.

При подаче сигнала на вход системы вначале возникает нестационарный процесс установления нового состояния (переходной процесс), и действительная часть комплексной переменной входит в показатели экспонент, определяющих затухающий (при ) или возрастающий (при ) характер переходного процесса. После затухания переходного процесса система либо остается в покое, либо остаются только вынужденные процессы (как правило, колебания), обусловленные колебаниями входного сигнала. Если следы нестационарности процесса исчезли, можно считать, что во все последующее время , и . В этом случае (в новом стационарном состоянии) выражения (1.2) – (1.4) представляют собой преобразования Фурье, являющемся частным случаем преобразования Лапласа. Модуль полученного комплексного выражения представляет зависимость от частоты модуля коэффициента передачи (усиления) системы, а фаза представляет зависимость от частоты фазы входного синусоидального сигнала.

Основные свойства преобразования Лапласа

Пусть функция является оригиналом, а – изображением функции , т.е. . Тогда из (1.2) – (1.4) можно получить основные свойства преобразования Лапласа.

Таблица 1.1

Таблица некоторых преобразований Лапласа

Таблица 1.2