Алгоритм Брезенхема для генерации окружности.
В растр нужно разлагать не только линейные, но и другие, более сложные функции. Разложению конических сечений, т. е. окружностей, эллипсов, парабол, гипербол, было посвящено значительное число работ . Наибольшее внимание, разумеется, уделено окружности. Один из наиболее эффективных и простых для понимания алгоритмов генерации окружности принадлежит Брезенхему . Для начала заметим, что необходимо сгенерировать только одну восьмую часть окружности. Остальные ее части могут быть получены последовательными отражениями, как это показано на рис. 5.1. Если сгенерирован первый октант (от 0 до 45° против часовой стрелки), то второй октант можно получить зеркальным отражением относительно прямой у = х, что дает в совокупности первый квадрант. Первый квадрант отражается относительно прямой х = 0 для получения соответствующей части окружности во втором квадранте. Верхняя полуокружность отражается относительно прямой у = 0 для завершения построения. На рис. 5.1 приведены двумерные матрицы соответствующих преобразований.
Рис. 5.1. Генерация полной окружности из дуги в первом октанте.
Для вывода алгоритма рассмотрим первую четверть окружности с центром в начале координат. Заметим, что если работа алгоритма начинается в точке х = 0, у = R, то при генерации окружности по часовой стрелке в первом квадранте у является монотонно убывающей функцией аргументам (рис. 5.2). Аналогично, если исходной точкой является у = 0, х == R, то при генерации окружности против часовой стрелки х будет монотонно убывающей функцией аргумента у. В нашем случае выбирается генерация по часовой стрелке с началом в точке х = 0, у = R. Предполагается, что центр окружности и начальная точка находятся точно в точках растра.
Для любой заданной точки на окружности при генерации по часовой стрелке существует только три возможности выбрать следующий пиксел, наилучшим образом приближающий окружность: горизонтально вправо, по диагонали вниз и вправо, вертикально вниз. На рис. 5.3 эти направления обозначены соответственно mH, mD, mV. Алгоритм выбирает пиксел, для которого минимален квадрат расстояния между одним из этих пикселов и окружностью, т. е. минимум из
mH = |(xi + 1)2 + (yi)2 -R2|
mD = |(xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2|
mV = |(xi )2 + (yi -1)2 -R2|
Рис. 5.2. Окружность в первом квадранте. | Рис.5.3. Выбор пикселов в первом квадранте. |
Вычисления можно упростить, если заметить, что в окрестности точки (xi,yi,) возможны только пять типов пересечений окружности и сетки растра, приведенных на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Пересечение окружности и сетки растра.
Разность между квадратами расстояний от центра окружности до диагонального пиксела (xi, + 1, уi - 1) и от центра до точки на окружности R2 равна
i = (xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2
Как и в алгоритме Брезенхема для отрезка, для выбора соответствующего пиксела желательно использовать только знак ошибки, а не ее величину.
При i < 0 диагональная точка (xi, + 1, уi - 1) находится внутри реальной окружности, т. е. это случаи 1 или 2 на рис. 5.4. Ясно, что в этой ситуации следует выбрать либо пиксел (xi, + 1, уi), т. е. mH, либо пиксел (xi, + 1, уi - 1), т. е. mD. Для этого сначала рассмотрим случай 1 и проверим разность квадратов расстояний от окружности до пикселов в горизонтальном и диагональном направлениях:
= |(xi + 1)2 + (yi )2 -R2| - |(xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2|
При < 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела больше, чем до горизонтального. Напротив, если > 0, расстояние до горизонтального пиксела больше. Таким образом,
при <= 0 выбираем mH в (xi, + 1, уi - 1)
при > 0 выбираем mD в (xi, + 1, уi - 1)
При = 0, когда расстояние от окружности до обоих пикселов одинаковы, выбираем горизонтальный шаг.
Количество вычислений, необходимых для оценки величины , можно сократить, если заметить, что в случае 1
(xi + 1)2 + (yi )2 -R2 >= 0
(xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2 < 0
так как диагональный пиксел (xi, + 1, уi - 1) всегда лежит внутри окружности, а горизонтальный (xi, + 1, уi) - вне ее. Таким образом, можно вычислить по формуле
= (xi + 1)2 + (yi )2 -R2 + (xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2
Дополнение до полного квадрата члена (yi )2 с помощью добавления и вычитания - 2yi + 1 дает
= 2[(xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2] + 2yi - 1
В квадратных скобках стоит по определению i и его подстановка
= 2( i + yi) - 1
существенно упрощает выражение.
Рассмотрим случай 2 на рис. 5.4 и заметим, что здесь должен быть выбран горизонтальный пиксел (xi, + 1, уi), так как .у является монотонно убывающей функцией. Проверка компонент показывает, что
(xi + 1)2 + (yi )2 -R2 < 0
(xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2 < 0
поскольку в случае 2 горизонтальный (xi, + 1, уi) и диагональный (xi, + 1, уi -1) пикселы лежат внутри окружности. Следовательно, < 0, и при использовании того же самого критерия, что и в случае 1, выбирается пиксел (xi, + 1, уi).
Если i > 0, то диагональная точка (xi, + 1, уi -1) находится вне окружности, т. е. это случаи 3 и 4 на рис. 5.4. В данной ситуации ясно, что должен быть выбран либо пиксел (xi, + 1, уi -1), либо (xi, , уi -1). Аналогично разбору предыдущего случая критерий выбора можно получить, рассматривая сначала случай 3 и проверяя разность между квадратами расстояний от окружности до диагонального mD и вертикального mV пикселов,
т. е. ' = |(xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2| - |(xi)2 + (yi -1)2 -R2 |
При'< 0 расстояние от окружности до вертикального пиксела (xi, , уi -1) больше и следует выбрать диагональный шаг к пикселу (xi, + 1, уi -1). Напротив, в случае'> 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела больше и следует выбрать вертикальное движение к пикселу (xi, , уi -1). Таким образом,
при '<= 0 выбираем mD в (xi +1, , уi -1)
при '> 0 выбираем mV в (xi, , уi -1)
Здесь в случае ' = 0, т. е. когда расстояния равны, выбран диагональный шаг.
Проверка компонент ' показывает, что
(xi )2 + (yi -1)2 -R2 >= 0
(xi + 1)2 + (yi -1)2 -R2 < 0
поскольку для случая 3 диагональный пиксел (xi +1, уi -1) находится вне окружности, тогда как вертикальный пиксел (xi, , уi -1) лежит внутри ее. Это позволяет записать ' в виде
' = (xi +1)2 + (yi -1)2 -R2 + (xi )2 + (yi -1)2 -R2
Дополнение до полного квадрата члена (xi)2 с помощью добавления и вычитания 2xi + 1 дает
' = 2[(xi +1)2 + (yi -1)2 -R2] - 2xi - 1
Использование определения i приводит выражение к виду
' = 2( i - xi )- 1
Теперь, рассматривая случай 4, снова заметим, что следует выбрать вертикальный пиксел (xi, уi -1), так как у является монотонно убывающей функцией при возрастании х.
Проверка компонент ' для случая 4 показывает, что
(xi +1)2 + (yi -1)2 -R2 > 0
(xi )2 + (yi -1)2 -R2 > 0
поскольку оба пиксела находятся вне окружности. Следовательно, ' > 0 и при использовании критерия, разработанного для случая 3, происходит верный выбор mV.
Осталось проверить только случай 5 на рис. 5.4, который встречается, когда диагональный пиксел (xi, , уi -1) лежит на окружности, т. е. i = 0. Проверка компонент показывает, что
(xi +1)2 + (yi)2 -R2 > 0
(xi +1)2 + (yi -1)2 -R2 = 0
Следовательно, > 0 и выбирается диагональный пиксел (xi +1 , уi -1) . Аналогичным образом оцениваем компоненты ' :
(xi +1)2 + (yi -1)2 -R2 = 0
(xi +1)2 + (yi -1)2 -R2 < 0
и ' < 0, что является условием выбора правильного диагонального шага к (xi +1 , уi -1) . Таким образом, случай i = 0 подчиняется тому же критерию, что и случай i < 0 или i > 0. Подведем итог полученных результатов:
i < 0
<= 0выбираем пиксел (xi +1 , уi ) - mH
> 0 выбираем пиксел (xi +1 , уi -1)-mD
i > 0
' <= 0 выбираем пиксел (xi +1 , уi -1) - mD
' > 0 выбираем пиксел (xi , уi -1)- mV
i = 0 выбираем пиксел (xi +1 , уi -1) - mD
Легко разработать простые рекуррентные соотношения для реализации пошагового алгоритма. Сначала рассмотрим горизонтальный шаг mH к пикселу (xi + 1, уi). Обозначим это новое положение пиксела как (i + 1). Тогда координаты нового пиксела и значение i равны
xi+1 = xi +1
yi+1 = yi
i+1 = (xi+1 +1)2 + (yi+1 -1)2 -R2 i + 2xi+1+ 1
Аналогично координаты нового пиксела и значение i для шага mD к пикселу (xi + 1, уi -1) таковы:
xi+1 = xi +1
yi+1 = yi -1
i+1 = i + 2xi+1 - 2yi+1 +2
То же самое для шага mVк (xi, уi -1)
xi+1 = xi
yi+1 = yi -1
i+1 = i - 2yi+1 +1
Реализация алгоритма Брезенхема на псевдокоде для окружности приводится ниже.
Пошаговый алгоритм Брезенхема для генерации окружности в первом квадранте
все переменные - целые
инициализация переменных
xi = 0
yi = R
i =2(1 - R)
Предел = 0
1 Plot (xi, yi
if yi <= Пределthen 4
Выделениеслучая 1 или 2, 4 или 5, или 3
if i < 0then 2
ifi> 0then 3
if i= 0then 20
определение случая 1 или 2
2 = 2i+ 2уi - 1
if <= 0then 10
if > 0then 20
определение случая 4 или 5
3 = 2i+ 2хi- 1
if <= 0then20
if > 0 then30
выполнение шагов
шаг к mH
10 хi = хi + 1
i = i+ 2хi + 1
Gо to 1
шагmD
20 хi = хi + 1
yi = yi + 1
i = i+ 2хi - 2уi+ 2
Gо to 1
Finish
Переменная предела устанавливается в нуль для окончания работы алгоритма на горизонтальной оси, в результате генерируется окружность в первом квадранте. Если необходим лишь один из октантов, то второй октант можно получить с помощью установки Предел =Integer (R/sqrt(2)), а первый - с помощью отражения второго октанта относительно прямой у = х (рис. 5.1). Блок-схема алгоритма приводится на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Блок-схема пошагового алгоритма Брезенхема для генерации окружности в первом квадранте.
Пример 5.1. Алгоритм Брезенхема для окружностию
Рассмотрим окружность радиусом 8 с центром в начале координат. Генерируется только первый квадраннт.
начальные установки
x = 0
y = 8
= 2(1-8) = -14
Предел = 0
Пошаговое выполнение основного цикла
1 Plot (0,8)
yi > Предел (продолжать)
i < 0 go to 2
2 go to 10
10 x = 0+1 = 1
i = -14 +2 + 1 = -11
go to 1
1 Plot (1,8)
yi > Предел (продолжать)
i < 0 go to 2
2 go to 10
10 x = 1+1 = 1
i = -11 +2(2) + 1 = -6
go to 1
1 Plot (2,8)
...
Продолжать
Результаты всех последовательных проходов алгоритма сведены в таблицу. Список пикселов выбранных алгоритмов состоит из (0,8), (1,8), (2,8), (3,7), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (7,3), (8,2), (8,1), (8,0).
Plot | i | | ' | x | y |
-14 | |||||
(0,8) | |||||
-11 | -13 | ||||
(1,8) | |||||
-6 | -7 | ||||
(2,8) | |||||
-12 | |||||
(3,7) | |||||
-3 | |||||
(4,7) | |||||
-3 | |||||
(5,6) | |||||
(6,5) | |||||
-11 | |||||
(7,4) | |||||
(7,3) | |||||
-7 | |||||
(8,2) | |||||
(8,1) | |||||
(8,0) |
алгоритм завершен.
Результаты показаны на рис.5.6. вместе с реальной окружностью. Алгоритм легко обобщается для других квадрантов или дуг окружностей.
Рис. 5.6. Результаты работы пошагового алгоритма Брезенхема генерации окружности.
Дата добавления: 2016-05-28; просмотров: 1810;