Математические модели и методы их определения

Разработка любой автоматической системы управления начинается с изучения объекта управления: принципа его действия, режимов работы, возможных способов управления, статических и динамических характеристик.

Целью изучения объекта является определение его математической модели, являющейся формализованным описанием его работы. Эта задача обычно решается на этапе выполнения предпроектных НИР.

В зависимости от цели моделирования для одного и того же объекта составляются несколько моделей различной сложности, образующих иерархическую структуру.

Весь процесс определения математической модели можно разделить на следующие основные этапы:

1. Выделение объекта моделирования из окружающей среды в соответствии с целью моделирования;

2. Разработка структуры модели;

3. Определение параметров модели;

4. Проверка адекватности модели реальному объекту.

Выделение объекта моделирования из окружающей среды задает границу точного и приближенного описания процессов. Внешние возмущения объекта окружающей средой описываются приближенно. Например, любые тепловые процессы постепенно нагревают весь земной шар и тянутся бесконечно. Если сравнивать модели управляемого и неуправляемого процессов, то границу возмущений для неуправляемого процесса придется устанавливать шире, чем для управляемого.

Математическая модель объекта управления включает математическое описание зависимостей между основными переменными (выходные регулируемые переменные, управляющие воздействия и возмущения) и накладываемые на них ограничения.

При разработке математических моделей необходимо стремиться получить модели максимально простые, в типовой форме и обеспечить требуемую точность описания процессов не вообще, а для конкретной цели управления. Требования простоты модели и ее точность являются противоречивыми. Поэтому при разработке моделей приходится принимать компромиссные решения между точностью и полнотой модели с одной стороны и ее сложностью и стоимостью разработки с другой. Противоречие разрешается в соответствии с целью моделирования.

Математические модели можно разделить на два вида: статические и динамические. Статические и динамические модели преднозначаются для различных целей и поэтому их совпадение вовсе не обязательно. Статические модели описывают установившиеся режимы работы, когда сигналы и регулируемые величины остаются постоянными, неизменными. Для описания статики обычно используются алгебраические уравнения.

Динамические модели описывают переходные режимы работы. Они могут представляться в различных видах:

1) описание в пространстве состояний в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка;

2) передаточными функциями или одним дифференциальным уравнением высокого порядка;

3) структурными схемами;

Для описания объектов, работающих при случайных воздействиях, используются вероятностные (стохастические) модели.

Из динамических моделей формально легко получить статические. Достаточно положить производные (или оператор Лапласа) равными нулю. Но полученная таким путем статическая модель может не соответствовать статике реального объекта.

Можно выделить два подхода к определению математической модели: аналитический и экспериментальный.

Аналитический метод основывается на анализе физических процессов, происходящих в объекте. Он применяется в тех случаях, когда хорошо известны физические процессы, происходящие в объекте и законы, которые их описывают, когда эти процессы достаточно изучены и могут быть описаны количественно.

Экспериментальный подход применяется тогда, когда такой информации нет, когда невозможно получить модель аналитически. При этом основную информацию об исследуемом процессе или объекте получают путем непосредственных измерений на нем. Помимо этого экспериментальный подход применяют для проверки адекватности модели, полученной аналитически.