Основные теоремы теории вероятностей

Цель: научиться использовать основные формулы теории вероятностей для нахождения вероятностей лингвистических событий.

Теоретические вопросы:

1. Операции над событиями: сложение и умножение событий.

2. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

3. Следствия из теорем сложения вероятностей.

4. Зависимые и независимые события.

5. Условная вероятность

6. Вероятность произведения зависимых и независимых событий.

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

8. Независимые испытания. Теорема Бернулли.

Практические задания:

1). Три студента решают задачу. Событие А = «задачу решил первый студент»; В = «задачу решил второй студент»; C = «задачу решил третий студент».Выразить через А, В, С события:

D= «все студенты решили задачу»;

Е= «задачу решил только первый студент»;

F = «задачу решил хотя бы один студент»;

К= «задачу решил только один студент»;

М = «ни один студент не решил задачу».

2). В корзине розы разных цветов. Произвольно извлекают две розы.

Событие А ={выбрана красная роза}; В = {выбрана белая роза}.

Что означают события:

3). Вероятность появления простого самостоятельного предложения в текстах Н.М. Карамзина равна 0,065, а в текстах А.С. Пушкина – 0,132. Из текстов каждого автора извлекается по одному предложению. Найти вероятность событий: а) «оба предложения простые»; б) «хотя бы одно предложение простое»; в) «одно из предложений простое»; г) «оба предложения не являются простыми».

4). Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами этого слова положены в урну.

Найти вероятность события А=«Получится слово МАТЕМАТИКА», если: а) последовательно извлекается карточка с буквой и возвращается обратно (безусловная вероятность); б) карточка с буквой извлекается и не возвращается обратно (условная вероятность).

5). Имеется английский научно-технический текст общей длиной в 400 тыс. словоупотреблений (около тысячи стандартных страниц). По тематике этот текст распадается на следующие 4 выборки разной длины: радиоэлектроника – 200 тыс. словоупотреблений; автомобилестроение – 100 тыс.; судовые механизмы – 50 тыс.;

строительные материалы. – 50 тыс..

Словоформа ‘machine’ встретилась

в 1-й выборке-98 раз, во 2-й -57, в 3-й – 9, в 4-й – 19 раз.

§ Определить вероятность того, что извлечённое наугад из данного текста словоупотребление будет словоформой ‘machine’.

§ Пусть наугад извлечённая словоформа в выборке оказалась словоформой ‘machine’. Найти вероятность того, что эта словоформа извлечена из текста а) по электронике, б) по автомобилестроению; в) по судовым механизмам; г) по строительным материалам.

6). Вероятность появления имени существительного в румынских текстах по электронике равна 0,59 (статистическая вероятность). Найдите вероятность того, что из 5 произвольно выбранных слов из румынского текста по электронике… а) ровно 2 будут существительными, б) более двух будут существительными.

7). Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Сколько независимых выстрелов необходимо произвести, чтобы вероятность поражения мишени была больше 0,95?

Практическое занятие 3Случайные величины.

Цель: для простейших лингвистических величин научиться находить закон распределения, функцию распределения, функцию плотности распределения вероятности, числовые характеристики.

Теоретические вопросы

1. Понятие случайной величины (СВ).

2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры лингвистических случайных величин.

3. Закон распределения, многоугольник распределения дискретных случайных величин (ДСВ).

4. Функция распределения случайных величин (интегральная функция распределения) и её свойства.

5. Функция плотности распределения (плотности вероятности) непрерывной случайной величины (НСВ) (дифференциальная функция распределения). Свойства функции плотности распределения.

6. Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение) и их свойства.

7. Виды распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона для ДСВ, нормальное распределение, логнормальное распределение для НСВ.

8. Система двух СВ. Независимые СВ. Закон распределения независимых случайных величин.

Практические задания:

1) Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины Х, если закон её распределения задан таблицей:

2). Производится извлечение трехсловных словосочетаний из научно-технических текстов. Именной группой считается словосочетание, в котором существительное стоит на последнем месте. Считая, что вероятность употребления существительного в научно-техническом тексте равна 0,4, а) составить закон распределения СВ Х ‑ «число именных групп при одновременном извлечении двух словосочетаний»; б) определить среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; в) найти функцию распределения F(x) и построить её график.

3). Примем, что средняя длина предложения в английских научно-технических текстах равна 10 словоформ. Относительная частота появления существительных в подъязыке английской электроники близка к 1/3(априорная вероятность). Считая появление отдельных словоформ в предложении независимыми событиями текста, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины Х=«число словоформ в предложении научно-технического текста».

2) Вероятность появления конкретного слова в большом тексте мала. Например, вероятность появления словоформы «море» в сказках А.С. Пушкина равна 0,004.

а) найти вероятность того, что в отрывке из сказок А.С. Пушкина длиной 500 словоформ слово «море» появится 3 раза; появится больше 3-х раз.

б) найти М(Х) и D(Х) случайной величины X- «число словоформ «море» в тексте длиной 500 словоформ».

в) найти наивероятнейшее число появления словоформы «море» в тексте длиной 500 словоформ (наивероятнейшее число появления события х₀ определяется по формуле

5) Случайная величина X задана

функцией распределения

а) найти функцию плотности распределения вероятностей f(х);

б) построить графики функций f(x) и F(x);

в) определите вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (-∞ ; 0) и (5; ∞ ).

6) Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения вероятностей

а) Найдите закон распределения случайной величины Х?

б) Определите числовые характеристики М(Х), D(Х), σ(Х).

в) Постройте график функции плотности вероятности .

г) Найдите вероятность попадания случайной величины X в интервалы (-1; 3), (-∞ ;-1) и (2; ∞ ).

7) Найти закон распределения двумерной случайной величины Z=2X-3Y, если X и Y независимые СВ, а законы их распределений заданы таблицами: