Лекция 4. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Основные определения.

Опр. Функцией называется закон, по которому каждому значению независимой переменной , называемой аргументом, ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной , называемой функцией: , где – закон соответствия.

Пример .

Опр. Областью определения функции (ООФ: ) называется множество допустимых действительных значений аргумента, при которых функция имеет смысл в области вещественных чисел; множество значений, которые при этом принимает функция, называется ее областью значений ( ) .

Опр. Геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – значению функции, называется графиком функции.

Опр. Если выполняется равенство , то функция называется четной, а при выполнении равенства – нечетной.

Опр. Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида.

Пример – четные функции;

– нечетные функции;

– функции общего вида.

Опр. Функция называется периодической, если существует такое вещественное число , что выполняется равенство , при этом меньшее положительное число , при котором выполняется указанное равенство, называется периодом функции.

Пример , так как .

Опр. Функция называется возрастающей ( ) на интервале , который в дальнейшем будем называть сегментом, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

при выполняется

Опр. Функция называется убывающей ( ) на интервале , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

при выполняется

Опр. Возрастающие или убывающие на сегменте функции объединяются под общим названием монотонные функции.

Пример Указать интервалы монотонности функции на сегменте .

Из рисунка видно, что и .

Опр. Если на сегменте функция не меняет своего значения, то она называется постоянной.

Другие определения теории функций действительной переменной будут вводиться ниже по мере необходимости.

Обратная функция.

Пусть задана функция . Если график этой функции пересекает ось абсцисс ( ) в единственной точке, то можно найти такой закон, по которому каждому значению переменной будет поставлено в соответствие единственное значение переменной , т.е. . Такой закон соответствия называется обратной функцией.

Пример Найти обратную функцию к функции .

Выразив переменную из этого равенства, найдем обратную функцию .

Способы задания функции.

Функция может быть задана одним из следующих способов:

– аналитический, т.е. в виде аналитической формулы (например, );

– графический, т.е. в виде графика для всех значений аргумента из ;

– табличный, т.е. в виде таблицы

– словесный, т.е. функция задается на каждом интервале разными аналитическими формулами, графиком или таблицей, например, .

Основные элементарные функции.

Рассмотрим основные элементарные функции:

1) постоянная 2) линейная

3) квадратичная Пусть (значения и связаны с параметрами и и определяют расположение параболы относительно координатных осей; отметим, что парабола симметрична относительно прямой ):