Турбулентный перенос теплоты и количества движения

Турбулентное течение существенно отличается от ламинарного. На рис.5.9 показана осциллограмма колебаний скорости в определенной неподвижной точке турбулентного потока, имеющего неизменную среднюю скорость течения. Мгновенная скорость пульсирует около некоторого среднего во времени значения. Помимо показанного на графике рис.5.9 изменения абсолютной величины происходит еще и изменение направления мгновенной скорости. Отклонение мгновенной скорости от средней во времени называют пульсациями скорости или пульсационными скоростями , при этом . Таким образом, турбулентное движение состоит как бы из регулярного течения, описываемого осредненными значениями скоростей, и из наложенного на него хаотического пульсационного течения.

При пульсациях скорости происходит перенос механической энергии. Если в потоке имеет место разность температур, то пульсации скорости приводят и к переносу теплоты, вследствие чего возникают пульсации температуры (рис.5.9). Температура в определенной неподвижной точке турбулентного потока колеблется около некоторого среднего во времени значения . Пульсация температуры связана с и уравнением .

Рис.5.9. Изменение скорости и температуры

в неподвижной точке турбулентного потока

Таким образом, турбулентное течение, строго говоря, является нестационарным процессом, однако если осредненные во времени скорости и температуры и не изменяются, то такое движение и связанный с ним перенос теплоты можно рассматривать как стационарные (квазистационарные) процессы. При этом интервал времени осреднения должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пульсации, но в то же время достаточно малым по сравнению с каким-либо характерным для осредненного движения интервалом времени, чтобы учесть возможные изменения средних скоростей и температур во времени. Будем в дальнейшем полагать, что средние значения актуальных величин получены как среднеинтегральные.

В общем случае пульсации скорости и температуры приводят к пульсациям давления и физических свойств.

Полагают, что выведенные в §5.2 дифференциальные уравнения конвективного теплообмена справедливы для отдельных струек пульсационного движения. Эти уравнения можно записать в осредненных значениях скорости и температуры, если произвести замену , , и т.д. Произведя некоторые преобразования и выдвинув дополнительные гипотезы, можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих в первом приближении осредненное турбулентное течение и теплообмен. В достаточно строгой постановке этот вопрос до конца не разрешен.

Прежде всего, рассмотрим качественную сторону явлений переноса энергии в турбулентном потоке. На основе этого рассмотрения запишем ряд соотношений, необходимых для решения простейших задач.

Пусть в некоторый момент времени скорость в фиксированной точке (малой области) турбулентного потока имеет компоненты и (рис.5.10). Температура жидкости в этой точке равна . Условную контрольную поверхность расположим близко к рассматриваемой точке и параллельно плоскости . За малый промежуток времени через единицу поверхности проходит масса . При этом, в частности, в направлении оси переносится количество движения относительно оси , равное , и соответственно энтальпия (полагаем, что и постоянны).

Рис.5.10. Мгновенное значение скорости в плоском турбулентном потоке

В следующие моменты времени компоненты скорости могут быть другими. Среднеинтегральное значение плотности теплового потока , переносимого в направлении оси за единицу времени через единицу контрольной поверхности, будет равно:

(5.31)

Величину можно представить в виде

. (5.32)

Здесь использованы свойства среднеинтегрального осреднения

(5.33)

меняющихся во времени и (например, и ):

. (5.34)

В дальнейшем понадобится и свойство

,

вытекающее из (5.33) ввиду возможности изменения последовательности операций интегрирования по и дифференцирования по . Предполагается при этом, что интервал осреднения выбран согласно ранее названным условиям. Действительно, осредняя , получаем:

.

Отсюда следует, что . Заметим, что , что следует из уравнения (тривиальный случай исключаем).

Среднеинтегральное значение количества движения относительно оси , переносимое в направлении за единицу времени через единицу поверхности, можно получить аналогично получению уравнения (5.32). В результате

. (5.35)

Аналогичные выражения в общем случае можно получить для переноса количества движения относительно любых координатных осей в направлении осей и .

Таким образом, согласно уравнениям (5.32) и (5.35) конвективный перенос складывается из двух составляющих – осредненного и пульсационного (турбулентного) переноса. Обозначим:

; (5.36)

. (5.37)

В общем случае и не равны нулю. Больше того, в определенных областях турбулентного потока, омывающего твердое тело, и могут принимать большие значения.

Рассмотрим течение около стенки, но на некотором удалении от нее. Для простоты предположим, что осредненные значения скорости и температуры изменяются только в направлении оси (рис.5.11). Предположим, что за счет пульсаций из слоя в слой переносится энтальпия , где – осредненное значение температуры при . Плоскости и параллельны плоскости .

Рис.5.11. К выводу формул осредненного турбулентного

переноса теплоты и количества движения

Разность энтальпий будем считать переносимой теплотой на отрезке . На длине пульсация как бы не распадается, не диссипирует. Распад пульсационного движения при приводит к передаче энтальпии слою , в рассматриваемом квазистационарном течении эта передача порождает пульсацию температуры в слое [температура ] и т.д.

Иногда проводят аналогию между и длиной свободного пробега молекул (от соударения до соударения). Как следствие этой аналогии, величину называют длиной пути смешения. Аналогично простейшим представлениям о молекулярном движении объем жидкости как бы перемещается на расстояние , при этом вместе с массой жидкости осуществляется перенос, в частности, энтальпии. Аналогии между молекулярным и турбулентным движениями достаточно условна. Ее достоинство заключается в наглядности. Заметим, что по смыслу турбулентного движения длина пути смешения не должна быть постоянной величиной. Можно говорить о вероятностном (статическом) значении .

Разность можно представить следующим образом:

.

Тогда для турбулентного (пульсационного) переноса теплоты можно написать:

. (5.38)

Исходя из предположений, аналогичных сделанным ранее, турбулентный перенос по количества движения относительно оси можно описать уравнением

. (5.39)

Таким образом, величины и пропорциональны производным и . Учитывая этот важный вывод, запишем как определения следующие уравнения:

(5.40)

, (5.41)

где , – соответственно коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения; – соответственно кинематические коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения. Размерности этих коэффициентов соответствуют размерностям аналогичных коэффициентов , учитывающих молекулярный перенос теплоты и количества движения.

Коэффициенты и не являются физическими параметрами среды. Они зависят, как это следует из уравнений (5.40) и (5.36), (5.37), от параметров процесса и, следовательно, могут изменяться в рассматриваемом пространстве.

Теплота и количество движения в направлении оси переносятся также и молекулярным механизмом. В результате можно написать:

; (5.42)

. (5.43)

Сплошная твердая стенка непроницаема для поперечных пульсаций ; следовательно, при будет . Отсюда следует, что непосредственно на стенке и . Вдали от стенки коэффициенты турбулентного переноса и могут во много раз превышать соответственно и ; для этой области, напртив, можно полагать, что и (точнее, , ).

Система уравнений турбулентного пограничного слоя. Как следует из (5.32) и (5.35), при записи уравнений в осредненных значениях скорости и температуры необходимо учитывать и турбулентный (пульсационный) перенос теплоты и количества движения. Для турбулентного пограничного слоя при принятых ранее ограничениях (см.§5.3) уравнения энергии (5.30), движения (5.28) и сплошности (5.29) могут быть записаны в следующем виде:

; (5.44)

; (5.45)

. (5.46)

Здесь учтено, что турбулентный перенос в направлении оси много меньше турбулентного переноса в направлении , так как и , где – длина пластины.

Полагают, что и зависят от тех же факторов (переменных), от которых зависят поля осредненных скорости и температуры. Для замыкания системы дифференциальных уравнений необходимо добавить уравнения, характеризующие связь и с этими переменными.

Предложено много способов, позволяющих в первом приближении замкнуть систему дифференциальных уравнений для турбулентного течения, но мы рассмотрим лишь простейший. Из уравнения (5.37)

и уравнения (5.39) для одномерного турбулентного переноса

следует, что

.

Примем, что

,

тогда

.

Включая коэффициент пропорциональности во вновь вводимую величину ,из (5.37) имеем[2]:

. (5.47)

Величину часто также называют длиной пути смешения, хотя она только пропорциональна . В последнее время предпочитают называть масштабом турбулентности. Полагают, что характеризует внутреннюю геометрическую структуру турбулентного потока, некоторый средний размер турбулентно перемещающихся масс жидкости. При фиксированном значении производной касательное напряжение турбулентного трения пропорционально .

Сравнивая уравнения (5.39) и (5.47), получаем

. (5.48)

Подставляя последнее значение в уравнение (5.38), имеем:

. (5.49)

Формулы (5.47) и (5.49) предложены Л.Прандтлем. В пристенной области турбулентного течения масштаб турбулентности (как и турбулентный перенос количества движения и теплоты) должен уменьшаться по мере приближения к стенке из-за воздействия последней. Согласно Прандтлю

. (5.50)

Как показывают измерения и расчеты, в пристенной области турбулентного течения (но в области, где молекулярным трением можно пренебречь) безразмерную величину можно считать равной 0,4.

Таким образом, в первом приближении задача замкнута, значения и (или и ) определены:

(5.51)

[сравнить формулы (5.40), (5.41), и (5.47), (5.49].

Формула (5.51) показывает, что существует аналогия между переносом количества движения и переносом теплоты. Формальная аналогия, следующая из (5.51), отражает концепцию, согласно которой одни и те же объемы жидкости, участвуя в пульсационном движении, переносят одновременно количество движения и теплоту и не взаимодействуют на пути с окружающей средой. На самом деле при переносе, например, теплоты может происходить теплообмен. Пульсационный перенос количества движения может быть связан с диссипацией механической энергии из-за вязкости жидкости. Все это заставляет вносить коррективы в ранее описанную теорию, в частности вводить для описания переноса количества движения и теплоты различные значения .

Турбулентное течение характеризуют также такими величинами, как кинетическая энергия турбулентного течения и степень турбулентности :

; (5.52)

, (5.53)

где - пульсационные составляющие скорости в какой-либо точке (предельно малой области) турбулентного потока; – характерная скорость процесса, например пограничного слоя за выбирают скорость набегающего потока (см. §5.3).

Несмотря на определенную незавершенность описанной здесь теории, она может давать приемлемые для практики результаты.

[1] Точнее, при , так как температура должна асимптотически стремиться к значению .

[2] Чтобы правильно определить знак , формулу (5.47) следует записать в виде

. (5.47’)

Знак определяется знаком производной .