Гидродинамический и тепловой пограничные слои

Для инженерной практики особый интерес представляет теплообмен между жидкостью и омываемым ею телом. Рассмотрим особенности течения и переноса теплоты в пристенном слое жидкости.

Условия «прилипания».В настоящее время в гидродинамике вязкой жидкости получила признание гипотеза о том, что частицы жидкости, непосредственно прилегающие к твердому телу, адсорбируются им, как бы прилипают к его поверхности, т.е. их скорость равна скорости тела (а если тело неподвижно, то нулю).

Этот слой «прилипающей» жидкости нужно рассматривать как бесконечно тонкий слой. Гипотеза о равенстве нулю скоростей жидкости на стенке нашла косвенное подтверждение в хорошем согласии с опытом результатов многочисленных теоретических работ, в основу которых она была положена.

Равенство нулю скорости жидкости на стенке выполняется до тех пор, пока газ можно считать сплошной средой. По мере увеличения разрежения ослабляется взаимодействие газа со стенкой и разреженный газ вблизи стенки начинает проскальзывать.

Степень разрежения потока характеризуется значением параметра Кнудсена , представляющего собой отношение средней длины свободного пробега молекул газа к характерному размеру твердого тела (например, диаметру трубы или проволоки).

Если примерно , то газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду, для которой выполняется условие прилипания.

При значениях параметра Кнудсена, примерно больших 10, газ должен рассматриваться как свободный молекулярный поток. Его взаимодействие с твердым телом описывается на основе законов кинетической теории газов.

При значениях параметра Кнудсена в интервале 0,001-10 разреженный газ не может рассматриваться ни как полностью сплошная, ни как полностью свободномолекулярная среда. Для этой области чисел Кнудсена разрабатываются свои методы расчета течения и теплообмена.

Мы будем рассматривать в основном сплошные среды и исходить из равенства нулю скорости исчезающе тонкого слоя жидкости, непосредственно прилегающего к поверхности твердого тела.

Уравнение теплоотдачи. Так как у поверхности твердого тела имеется тонкий слой неподвижной жидкости, из уравнения (5.2) следует, что плотность теплового потока на стенке (теплоотдача) может быть определена по уравнению Фурье

, (5.21)

где – нормаль к поверхности тела.

Таким образом, если известно температурное поле, можно вычислить, не обращаясь к закону Ньютона-Рихмана:

. (5.21’)

При необходимости по известному температурному полю можно определить и коэффициент теплоотдачи. Из уравнений (5.21) и (5.21’) следует, что

. (5.22)

Будем называть это уравнение уравнением теплоотдачи.

Из условия равенства нулю относительной скорости жидкости на поверхности тела следуют и другие важные для расчетной практики выводы, облегчающие нахождение поля температур и, следовательно, определение и .

Гидродинамический пограничный слой. Рассмотрим продольное обтекание плоской поверхности тела безграничным потоком жидкости. Скорость и температура набегающего потока постоянны и равны соответственно и . При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В результате в области около пластины вследствие действия сил вязкости образуется тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока (вдали от тела). Этот слой заторможенной жидкости получил название гидродинамического пограничного слоя. Теория гидродинамического пограничного слоя впервые дана Л.Прандтлем (1904 г.).

Чем больше расстояние от передней кромки пластины, тем толще пограничный слой, так как влияние вязкости по мере движения жидкости вдоль тела все дальше проникает в невозмущенный поток. Эта особенность пограничного слоя иллюстрируется рис.5.6, на котором представлены распределения скорости при различных значениях .

Рис.5.6. Изменение скорости в гидродинамическом

пограничном слое

Для течения жидкости внутри пограничного слоя справедливо условие , вне пограничного слоя и на его внешней границе

и .

Понятия «толщина пограничного слоя» и «внешняя граница пограничного слоя» довольно условны, так как резкого перехода от пограничного слоя к течению вне слоя нет. Скорость в пограничном слое по мере увеличения асимптотически стремится к .

Поэтому под толщиной пограничного слоя подразумевается такое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться от скорости потока вдали от тела на определенную заранее заданную малую величину (например, на 1%): при .

Таким образом, при омывании тела поток жидкости как бы разделяется на две части: пограничный слой и внешний поток. Во внешнем потоке преобладают силы инерции, вязкостные силы здесь не проявляются. Напротив, в пограничном слое силы вязкости и инерционные силы соизмеримы. Тогда можно написать следующую систему дифференциальных уравнений, описывающих стационарное поле скоростей при омывании плоской пластины, бесконечной в направлении оси . Уравнения движения:

; (5.23)

. (5.24)

Уравнение сплошности имеет вид:

. (5.25)

Рассмотрим возможности упрощения записанной системы дифференциальных уравнений и наметим границы справедливости упрощенной записи.

Ввиду малости толщины пограничного слоя принимаем, что поперек него давление не изменяется, т.е. . При омывании плоской поверхности неограниченным потоком, когда во внешнем течении скорость постоянная и равна , из уравнения Бернулли

следует, что во внешнем потоке не изменяется и давление. Тогда (такое течение в гидродинамике часто называют «безградиентным течением»). Условия для пограничного слоя и для внешнего течения приводят к выводу, что производная равна нулю и в области пограничного слоя (в рассматриваемом случае).

Скорость изменяется от нуля до , порядок величины оценим как . Для продольной координаты возьмем масштаб , тогда ( – обозначение порядка данной величины)

.

Согласно уравнению сплошности (5.25) порядок производных и одинаков, отсюда

,

где – порядок поперечной координаты для пограничного слоя. Порядок величины при этом может быть оценен как

.

Оценим отдельные члены инерционной (конвективной) и вязкостной частей уравнения движения в проекциях на ось :

;

;

.

Из оценки следует, что порядок отдельных слагаемых инерционной части одинаков и равен . Отношение вязкостных членов дает:

.

Для пограничного слоя , отсюда , последней производной можно пренебречь. Тогда уравнение движения в проекциях на ось может быть записано в следующем виде:

. (5.26)

Порядок левой части этого уравнения равен , правой . Приравнивая левую и правую части получаем:

или , (5.27)

где – число Рейнольдса, характеризующее соотношение сил инерции и сил вязкости.

Если . В этом случае по сути дела нет разделения потока на две области, все пространство жидкости у тела охвачено действием сил вязкости.

Если , т.е. у поверхности тела образуется сравнительно тонкий слой подторможенной жидкости, для которого в первом приближении справедливы сделанные нами упрощения. Таким образом, теория пограничного слоя представляет собой метод упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения.

Оценим порядок величин, входящих в уравнение движения в проекциях на ось . Получим, учитывая уравнение (5.27), что члены

и

имеют значения порядка , а член .

Таким образом, члены уравнения движения в проекциях на ось малы по сравнению с членами уравнения (5.23). Для пограничного слоя уравнение (5.24) можно опустить. Тогда для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности можно записать:

; (5.28)

. (5.29)

Здесь две зависимые переменные: и . Правую часть уравнения (5.28) можно записать в виде , где – напряжение трения в плоскости, параллельной плоскости .

Тепловой пограничный слой. Аналогично понятию гидродинамического пограничного слоя Г.Н. Кружилиным было введено понятие теплового пограничного слоя (рис.5.7). Тепловой пограничный слой – это слой жидкости у стенки, в пределах которого температура изменяется от значения, равного температуре стенки, до значения, равного температуре жидкости вдали от тела. Для области внутри теплового пограничного слоя справедливо условие , а на внешней границе и вне его[1]

и .

Рис.5.7. Изменение температуры в тепловом пограничном слое

Таким образом, все изменение температуры жидкости сосредоточивается в сравнительно тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности тела. В гл. 6, рассматривая теплоотдачу при обтекании плоской поверхности неограниченным потоком жидкости, мы выясним условие, при котором выполняется неравенство , где – толщина теплового пограничного слоя. Толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев и в общем случае не совпадают – это зависит от рода жидкости и некоторых параметров процесса течения и теплообмена. Будем полагать, что они одного порядка: . Ввиду малости толщины теплового граничного слоя можно пренебречь теплопроводностью вдоль слоя по сравнению с поперечным переносом теплоты, т.е. положить

Тогда для рассматриваемого случая уравнение энергии примет вид:

. (5.30)

Учитывая, что и, следовательно, , правую часть уравнения (5.30) можно представить в виде .

Чтобы замкнуть задачу, к уравнению (5.30) необходимо добавить уравнение движения (5.28) и уравнение сплошности (5.29).

Напомним, что система дифференциальных уравнений (5.28) – (5.30) получена для стационарного безградиентного омывания плоской поверхности жидкостью с постоянными физическими свойствами; в жидкости отсутствуют внутренние источники теплоты, выделение теплоты трения пренебрежимо мало. Заметим, что при принятых здесь условиях поле скоростей не зависит от поля температур.

Своеобразно строится пограничный слой в случае свободного теплового течения, вызванного разностью плотностей более и менее нагретых частиц жидкости. Данное ранее определение пограничных слоев остается справедливым и для свободного движения. Однако во многих случаях скорость вдали от тела, у которого возникло свободное движение, равна нулю. На рис.5.8 приведено примерное распределение температур и скоростей в определенном сечении свободного потока у горячего тела. В данном случае толщины теплового и гидродинамического слоев также могут не совпадать.

Рис.5.8. Гидродинамический и тепловой

пограничные слои при свободном движении

При свободном тепловом движении в дифференциальном уравнении движения (5.28) должен быть учтен член . В этом случае поле скоростей неразрывно связано с полем температур (теплообменом).

Форма и размеры поверхности теплообмена существенно влияют на теплоотдачу. В зависимости от этих факторов может резко меняться характер обтекания поверхности, по-иному строится пограничный слой. В технике имеется большое многообразие поверхностей нагрева. Каждая такая поверхность создает специфические условия движения и теплоотдачи.

Известно, что имеются два основных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме частицы жидкости движутся без перемешивания, слоисто, при турбулентном – неупорядоченно, хаотически, направление и значения скорости отдельных частиц беспрестанно меняются. Эти режимы течения наблюдаются и в пограничном слое. При малых значениях течение в пограничном слое может быть ламинарным. По мере увеличения толщина пограничного слоя возрастает, слой делается неустойчивым и течение в пограничном слое становится турбулентным.

Как будет показано в дальнейшем, теплоотдача существенно зависит от режима течения. Полученная система дифференциальных уравнений (5.28) – (5.30) описывает теплообмен только в ламинарном пограничном слое.