Закон изменения кинетической энергии

В разделе «Кинематика» было показано, что если в механизме с одной степенью свободы известны кинематические характеристики одного звена, то могут быть определены координаты, скорости и ускорения любой точки и любого звена механизма. Следовательно, для определения движения механизма под действием сил достаточно определить закон изменения обобщенной координаты, например, зависимость от времени угла поворота кривошипа рычажного механизма. Этот закон определяется в результате решения уравнений движения машины под действием сил. Уравнения движения могут быть составлены на основании закона изменения кинетической энергии: приращение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех сил на соответствующих перемещениях точек приложения сил.

На конечном перемещении закон имеет вид:

, (6.1)

где – приращение (изменение) кинетической энергии при перемещении системы из начального (нулевого) положения в произвольное; – сумма работ, совершенных силами на этом перемещении.

На бесконечно малом перемещении приращение (дифференциал) кинетической энергии равно сумме элементарных работ всех сил:

. (6.2)

Уравнения (6.1) и (6.2) выражают закон изменения кинетической энергии, соответственно, в интегральной и дифференциальной формах.

Для механизмов, составленных из твердых звеньев, кинетическая энергия механизма в любом положении определяется как сумма кинетических энергий всех звеньев:

, (6.3)

где m_k и v_sk – масса и скорость центра масс S_k k-го звена; J_sk ­­– момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости вращения; – угловая скорость.

При поступательном движении звена = 0; если центр масс звена, совершающего вращательное движение, располагается на оси вращения, то v_sk = 0. Кроме того, скорости v_sk и становятся равными нулю в особых положениях звена, в которых, соответственно, изменяется направление движения центра масс по его траектории или направление вращения звена. Если задан момент инерции относительно оси вращения звена, то независимо от положения центра масс кинетическую энергию можно найти по формуле

. (6.4)

Элементарная работа силы на бесконечно малом перемещении dS точки приложения силы равна

, (6.5)

где - угол между направлениями векторов силы и скорости точки приложения силы.

На конечном перемещении точки приложения силы

, (6.6)

где S₀ – начальная дуговая координата точки; – координата в текущем (конечном) положении.

Если модуль силы и угол за все время движения не изменяются, то . При постоянных значениях и , принимая  EMBED Equation.3 , получаем  EMBED Equation.3 .

Если на звено действует пара сил с вращающим моментом М , элементарная работа и работа на конечном угле поворота определяются по формулам

, (6.7)

. (6.8)

При в случае постоянного момента .