Расчет цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени

8.3.1 Методика синтеза цифровых фильтров. Общие положения

Проектирование фильтра (регулятора) включает в себя две основные задачи [22]:

- выбор места включения фильтра;

- выбор типа и расчет параметров фильтра, придающего системе заданные динамические свойства.

Как первая, так и вторая задача не имеют строгой математической формализации. Их решения базируются на опыте проектирования различных систем для различных применений.

Требования высокой точности регулирования и высокого быстродействия обуславливают применение замкнутых систем. Только замкнутые системы позволяют осуществить реализацию двух основных принципов:

- регулируемая величина на выходе (скорость, угол, момент и т.д.) должна по возможности точней повторять задающий (входной) сигнал;

- регулируемая величина на выходе по возможности не должна зависеть от возмущающих воздействий.

Таким образом, основным принципом управления является принцип обратной связи, позволяющий осуществлять контроль качества регулирования по отклонению управляемого параметра от заданного.

В современных системах фильтры являются цифровыми, т.к. такие системы в обязательном порядке содержат микроконтроллер или компьютер с платами расширения.

При цифровой реализации регулятора связь между непрерывным объектом управления и фильтром осуществляется через преобразователи аналоговых величин в цифровой код (АЦП) и цифрового кода в аналоговую величину (ЦАП). При этом сигналы с АЦП и сигналы, поступающие в ЦАП, обычно квантуются синхронно с периодом дискретизации Т.

Функциональная схема замкнутой системы приведена на рис. 8.6.

Входной сигнал u_y^* и сигнал, пропорциональный истинному значению регулируемой величины x^* в цифровой форме обрабатываются с помощью компьютера (микропроцессора), выполняющего роль фильтра (регулятора). Цифровой сигнал на выходе процессора u^* преобразуется ЦАП в аналоговый сигнал на входе непрерывного объекта управления u, который остается постоянным в течение периода дискретизации.

Сигналы АЦП и ЦАП квантованы по уровню, вследствие чего система управления непрерывным объектом с компьютером в контуре относится в общем случае к классу дискретных нелинейных систем.

Однако, если разрядность преобразователей достаточно велика, то можно пренебречь квантованием сигналов по уровню, заменив нелинейные статические характеристики АЦП и ЦАП линейными и введя при этом коэффициенты передачи

,

где - приращение аналоговой величины х на входе АЦП, соответствующее изменению выходной величины х^* на одну дискретную единицу;

,

где - приращение выходного сигнала ЦАП при изменении на одну дискретную единицу входного сигнала u^*.

Тогда математическое описание всей системы с компьютером в контуре регулирования может быть представлено линеаризованной структурной схемой, приведенной на рис. 8.7,

где W_p(z) – передаточная функция цифрового фильтра при описании алгоритма его работы в области комплексной переменной z;

W_ЭО(s) – передаточная функция экстрополятора нулевого порядка;

W_оу(s) - – передаточная функция объекта управления;

e^-sτ – звено чистого запаздывания, учитывающее, что на вычисление управляющего воздействия в соответствии с передаточной функцией фильтра W_p(z) процессор затрачивает время τ

Таким образом объект управления описывается системой дифференциальных уравнений или передаточными функциями в области комплексного аргумента s, а алгоритм работы компьютера - разностными уравнениями или передаточными функциями в области аргумента z дискретного преобразования.

Могут быть использованы два подхода к проектированию цифрового фильтра.

Первый подход основан на синтезе непрерывного регулятора с последующим пересчетом его к цифровому аналогу.

При втором подходе дискретной аппроксимацией заменяется описание непрерывного объекта, в результате чего вся система оказывается описанной в области комплексной переменной z, а алгоритм работы цифровой части определяется в результате синтеза дискретной системы.

Наиболее распространенным является первый подход, поскольку он гармонично вытекает из классических методов исследования систем.

Таким образом, если исходное описание линейной системы непрерывно, то часто можно перейти к дискретному ее описанию.

Наиболее распространенным методом расчета цифровых фильтров является метод дискретизации аналогового фильтра [14].

Рассмотрим несколько методов преобразования (т.е. дискретизации) существующего аналогового фильтра в эквивалентный ему цифровой фильтр.

Пусть передаточная функция аналогового фильтра (представляющая собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики) имеет вид

, (8.34)

причем коэффициенты , ( - нули, - полюсы) известны.

Соответствующее дифференциальное уравнение фильтра (8.34) имеет вид

, (8.35)

где , - колебания на входе и выходе аналогового фильтра.

8.3.2 Методы дискретизации аналоговых фильтров

Наиболее распространенными методами дискретизации аналогового фильтра с передаточной функцией вида (8.34) являются следующие:

- метод отображения дифференциалов;

- метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

- метод билинейного преобразования;

- метод согласованного z –преобразования.

8.3.2.1. Метод отображения дифференциалов

Это один из наиболее простых методов дискретизации. Заключается в замене дифференциалов в ее дифференциальном уравнении на конечные разности, что позволяет получить разностное уравнение, аппроксимирующее исходное дифференциальное уравнение.

При этом производится замена дифференциалов простыми разностями путем подстановки типа

или (8.36)

и непосредственно переходят от рациональной передаточной функции от к рациональной передаточной функции от .

При этом, однако, характеристики аналогового фильтра не сохраняются. Поэтому данный метод применяется редко.

8.3.2.2. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики

Разложим передаточную функцию фильтра (8.34) на простые дроби

,

где - полюсы;

.

Переход от к осуществляется с помощью отображения, при котором используется замена

. (8.37)

8.3.2.3. Метод билинейного преобразования

При этом используется замена

, (8.38)

что приводит к связи между передаточными функциями к

.

Это простое конформное отображение -плоскости в -плоскость, свободное от недостатков первого метода и в то же время сохраняет удобную алгебраическую форму преобразования.

8.3.2.4. Метод согласованного z –преобразования

При этом методе отображающая замена будет иметь вид

. (8.39)

Метод прост, но во многих случаях не применим из-за искажения во многих случаях положения нулей цифрового фильтра.

8.3.2.5. Универсальный метод

При переходе к дискретному времени в передаточной функции системы нужно произвести замену [6]

. (8.40)

Метод прост и дает быстрый результат.

8.3.3. Геометрическая интерпретация методов расчета цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени

Как отмечено выше, определение параметров цифрового фильтра осуществляется путем пересчета параметров непрерывного фильтра.

Идея такой замены можно пояснить рис. 8.8. Здесь замкнутая система с непрерывным объектом управления c передаточной функцией W₀(s) и синтезированным непрерывным фильтром с передаточной функцией W_ф(s) (рис. 8.8, а) преобразовывается в систему с цифровым фильтром W_ф(z) и фиксатором вычислений ЦАП с передаточной функцией (рис. 8.8, б).

Преобразование базируется на представлении интеграла суммой. Эта сумма может быть вычислена различными способами.

Прямой метод Эйлера.

Прямой метод Эйлера демонстрируется рис. 8.8.

Значение выходного сигнала x(t) в момент t=nT здесь находится из выражения

. (8.41)

При подстановке оператора задержки (см. (8.31)) в выражение (8.41) получим:

. (8.42)

Из (8.42) следует, что сигнал на выходе может быть представлен в виде:

. (8.43)

Таким образом, при использовании прямого метода Эйлера осуществляется замена переменной оператора интегрирования через оператор задержки . Соответствующее выражение замены имеет вид:

. или . (8.44)

Из рассмотрения выражения (8.44) следует, что оно совпадает с выражением (8.40) для универсального метода дискретизации.

Обратный метод Эйлера.

Данный метод иллюстрируется рис. 8.10.

Значение выходного сигнала x(t) в момент t=nT здесь находится из выражения

. (8.45)

При подстановке оператора задержки получим

. (8.46)

Отсюда следует, что сигнал на выходе может быть представлен в виде

. (8.47)

Таким образом, при этом методе осуществляется замена переменных следующим образом

. или . (8.48)

Выражение (8.48) совпадает с выражением (8.36), т. е. обратный метод Эйлера иллюстрирует метод отображения дифференциалов.

Метод трапеций.

Интегрирование по данному методу иллюстрируется рис. 8.11.

Значение выходного сигнала x(t) в момент t=nT здесь находится из выражения

. (8.49)

После подстановки оператора задержки в выражение (8.49) получим сигнал на выходе, который определится по зависимости:

. (8.50)

В этом случае аналогом оператора интегрирования является оператор,

или , (8.51)

который соответствует выражению метода билинейного преобразования (8.38).

Очевидно, что данное преобразование обеспечивает более высокую точность замены, сохраняя характеристики аналогового фильтра. Это вытекает из геометрической интерпретации метода: замена элемента площади под непрерывной кривой трапецией (в последнем случае) обеспечивает более высокую точность такой замены прямоугольниками (в случаях прямого и обратного методов Эйлера).

В силу сказанного метод билинейного преобразования является предпочтительным.

Таким образом, если известна операторная передаточная функция непрерывного фильтра, то, используя различные методы численного интегрирования, можно определить передаточную функцию цифрового фильтра.

При этом необходимо заметить, что последняя зависит не только от способа численного интегрирования, но и от значения периода дискретизации Т.