Основные положения из теории дискретных линейных систем

Теория дискретных линейных систем связана с описанием и обработкой временных и частотных последовательностей.

Будем рассматривать частный случай, как наиболее распространенный, когда квантование элементов последовательности по уровню отсутствует (при общей теории дискретных систем, где квантование производится как по времени, так и по уровню).

8.2.1. Последовательности

Дискретный сигнал определяется лишь для дискретных значений независимой переменной – времени t.

Обычно время квантуется равномерно, т.е.

, (8.1)

где - интервал между отсчетами.

Математически дискретные сигналы представляются в виде непрерывной последовательности чисел.

Для описания может быть использовано одно из следующих обозначений:

; (8.2)

; (8.3)

; (8.4)

; (8.5)

Способы обозначения (8.2) и (8.4) используются при неравномерном расположении отсчетов, а (8.3) и (8.5) – при равномерном.

Примеры важных последовательностей.

1. Цифровой единичный импульс - основная последовательность

(8.6)

Этот импульс аналогичен единичному импульсу в аналоговых системах.

Отличие между ними:

- физически реализуемый сигнал;

- обобщенная функция (или распределение).

2. Единичный импульс, задержанный на отсчетов :

(8.7)

3. Единичный скачок :

(8.8)

Существует связь между единичным скачком и единичным импульсом:

. (8.9)

4. Экспонента :

(8.10)

5. Косинусоида :

. (8.11)

Произвольные последовательности легко выражаются через основные последовательности (единичный импульс, используя задержку и масштабирование):

если

,

то эту последовательность, используя (8.7), можно представить

. (8.12)

8.2.2. Линейные системы с постоянными параметрами

Дискретная система по существу является алгоритмом преобразования одной последовательности (входной) в другую (выходную)

,

где - оператор, его вид зависит от свойств конкретной системы.

Соответствующая схема может быть представлена в виде, приведенном на рисунке 8.1.

8.2.2.1. Определение линейной системы

Если , - входные последовательности, , - выходные последовательности, и - константы, то в линейной системе имеет место

. (8.13)

8.2.2.2. Определение системы с постоянными параметрами

Если - входная последовательность и - соответствующая выходная последовательность, то входной последовательности при любых соответствует на выходе последовательность .

В линейной системе с постоянными параметрами входная и выходная последовательности связаны соотношением типа свертки.

Пусть

- входная последовательность;

- соответствующая выходная последовательность;

- отклик системы на единичный импульс (импульсная характеристика системы).

Используя (8.12), можно последовательность представить

.

Поскольку - отклик системы на последовательность , а

параметры системы постоянны, то - есть отклик на последовательность .

Из свойств линейности следует, что откликом на последовательность должна быть последовательность . Поэтому отклик на будет

. (8.14)

Он имеет вид свертки, что и доказать.

Простой заменой переменных выражение (8.14) может быть преобразовано к виду

. (8.15)

Это может быть отражено схемой

8.2.3. Разностные уравнения

В общем случае линейное разностное уравнение порядка M с постоянными коэффициентами имеет вид

, (8.16)

где описывают конкретную систему, причем .