УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если на балку действует сложная нагрузка (рис. VII. 4), то в этом случае на разных участках закон изменения изгибающих моментов будет выражаться различными уравнениями. Дифференциальное уравнение изогнутой оси придется составлять для каждого участка.

Число постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу участков. Для определения этих постоянных всегда можно составить достаточное число уравнений, используя условия на опорах балки и условия на концах смежных участков, где прогибы и углы поворота равны между собой. Однако такой способ решения очень сложен.

Более простой способ решения получается, если вместо неопределенного интегрирования уравнения (VII.5) применить способ определенного интегрирования. При этом удается достигнуть удобной графоаналитической интерпретациирешения.

Рассмотрим снова дифференциальное уравнение (VII.5). Проинтегрируем его один раз в пределах от нуля до z, приняв пока ЕI = const:

(VII.12)

где dA = Mdz – дифференциал площади эпюры М (рис. VII.5).

Выполнив интегрирование, получим из (VII. 12)

или (VII.13)

Здесь А (z) =А' – отсеченная площадь эпюры М, т.е. площадь эпюры, расположенная между началом координат и текущим сечением, в котором определяются перемещения; А (0) – отсеченная площадь для сечения, проходящего через начало координат, очевидно, равная 0.

Уравнение (VI 1.13) перепишем в виде (VII.14)

Проинтегрируем это уравнение от 0 до z:

. (VII.15)

Здесь dS = A(z) dz – дифференциал статического момента отсеченной площади эпюры М.

После интегрирования из (VII.15) получим

(VII. 16)

где статический момент отсеченной площади эпюры М относительно текущего сечения; S(0) – статический момент отсеченной площади эпюры М относительно сечения, проходящего через начало координат. Он равен нулю, так как A(0) =0.

Таким образом, для определения угловых и линейных перемещений при изгибе имеем формулы (VII.13) и (VII.16).

Если балка имеет различную жесткость на разных участках, то вместо формул (VII.13) и (VII.16) аналогично получим

(VII.17)

(VII.18)

где А'_red – приведенная отсеченная площадь эпюры моментов, т. е. эпюры, ординаты которой поделены на EI. S¢_red – статический момент относительно текущего сечения приведенной отсеченной площади эпюры моментов.

В табл. VII.1 приведены наиболее часто встречающиеся эпюры изгибающих моментов с указанием их площадей и положения центра тяжести (z_с).

Таблица VII.1

Вид эпюры	Площадь эпюры	Расстояние от центра тяжести zс
	hl	½ l
	½ hl	2/3 l
	1/3 hl	¾ l
	2/3 hl	5/8 l

Правило знаков при пользовании формулами (VII.13) и (VII.16), а также формулами (VII.17) и (VII.18) следующее:

площадь А' принимается положительной, если эпюра М положительна;

площадь А' принимается отрицательной, если эпюра М отрицательна.

cтатический момент S¢_m.n принимается положительным, если А' положительна; статический момент S¢_m.n считается отрицательным, если А' отрицательна.

Если жесткость балки постоянна, то формулы (VII.13) и (VI1.16) можно представить в аналитической форме. Сделаем это для трех типов внешних сил, представленных на рис. VII.4. Строим эпюры изгибающих моментов от каждой нагрузки от-дельно.

По формулам (VII.13) и (VII.16) получим непосредственно следующие формулы, вычисляя площади и статические моменты (относительно текущего сечения) отсеченных площадей эпюр:

(VI1.19)

(VI1.20)

При одновременном действии нескольких внешних сил уравнения для определения углов поворота и прогибов (на основании принципа независимости действия сил) имеют следующий вид:

(VI1.21)

(VII.22)

Эти уравнения называют универсальными уравнениями изогнутой оси балки. В них включены со своими знаками все внешние силы (включая опорные реакции), расположенные между началом координат и сечением с абсциссой z, в котором определяются перемещения. Внешние силы, показанные на рис. VII.4, включают в универсальные уравнения со знаком плюс, противоположно направленные внешние силы – со знаком минус.

Важно заметить, что последний член этих уравнений справедлив только в том случае, если распределенная нагрузка не обрывается ранее того сечения, где определяется u или J. Если же нагрузка обрывается, то следует продолжить ее до данного сечения, одновременно добавив нагрузку, равную по абсолютному значению, но обратного направления (рис. VII.6).

Недостаток универсальных уравнений состоит в том, что их нельзя непосредственно использовать для определения перемещений в балках, имеющих различную жесткость ЕI на разных участках.

В этих случаях следует применять общий метод определения перемещений – метод Мора (см. дальше) или пользоваться формулами (VII.17) и (VII.18).