Основная теорема зацепления

Основную теорему зацепления рассмотрим на примере двух зубчатых колес (рис. 26). Профили зубьев двух колёс, соприкасаются в точке К. Колёса вращаются вокруг точек и в направлениях указанных стрелками. Скорость точки К в системе первого колеса:

(1.9)

Скорость точки К в системе второго колеса:

(1.10)

Они различны по величине и направлению.

Давление между двумя твёрдыми телами передаётся по общее нормали N-N, следовательно, непрерывная передача движения возможна только лишь в том случае, если проекции скоростей точек контакта обоих профилей на общую нормаль будут одинаковы по величине и направлению.

При будет происходить размыкание зацепления, чего допускать нельзя; при - происходит внедрение зуба одного колеса в зуб другого колеса другой (тем более нельзя допускать), следовательно, скорости должны быть равны

,

так как ,

то

или учитывая (1.9) и (1.10) получим:

(1.11)

Из точек и опустим перпендикуляры и на общую нормаль N-N

;

Рис. 1.26

следовательно, подставив в формулу (1.11) получим:

откуда

(1.12)

Соединим центры вращения профилей линей ; и точку пересечения с общей нормалью N-N обозначим Р.

Из подобия треугольников следует: , учитывая формулу (1.12) получим:

(1.13)

Это равенство выражает основную теорему зацепления: общая нормаль N-N к сопряжённым профилям, вращающимся относительно центров и , делит линию центров и на части обратно пропорциональные угловым скоростям этих профилей.

Итак: если точка Р неподвижна, то передаточное отношение звеньев будет постоянно. Точка Р называется полюсом зацепления. Она является мгновенным центром относительного вращения звеньев 1 и 2. Окружности с центрами и проходящие через полюс называются начальными. При работе колёс катятся одна по другой без скольжения. Следовательно, как вытекает из формулы (1.13), они представляют собой центроиды колёс.

Угол , составленный общей нормалью N–N к профилям зубьев (линией зацепления) и общей касательной к начальным окружностям называется углом зацепления (углом давления).

По теореме зацепления всегда можно проверить, являются ли два профиля находящихся в зацеплении зубьев сопряженными. Для этого проводим к ним общую нормаль и выясняем, проходит ли она через полюс зацепления. Требование сопряжённости профилей удовлетворяется, если профили являются эвольвентными, циклоидными и в некоторых других случаях. В эвольвентном зацеплении угол постоянный. В большинстве случаев угол .