Изменение главного момента при перемене центра приведения

Согласно теореме Пуансо, произвольная система сил приводится к главному вектору и главному моменту ( ) относительно произвольного центра приведения (рис. 9.1):

(9.1)

	Здесь - радиус - вектор точки приложения силы , проведенный из центра О. При перемене центра приведения векторные моменты сил изменяются, так как изменяются радиус-векторы точек приложения (рис. 9.2).
Рис. 9.1
	Вследствие этого изменяется главный момент. Оценим изменение главного момента заданной системы сил. Из рис. 9.2 видно, что , где - радиус - вектор точки приложения силы , проведенный из центра .
Рис. 9.2

Тогда главный момент системы относительно нового центра приведения запишется

Здесь

Получили, что главный момент относительно нового центра приведения (точка О1) (рис. 9.3) является векторной суммой моментов и , т.е. (9.2)
Рис.9.3

Итак, главный момент системы сил при перемене центра приведения изменяется на векторный момент главного вектора , приложенного в старом центре приведения относительно нового центра приведения О₁.

9.2. Инварианты системы сил

Физические величины инвариантны относительно данного преобразования координат, если значения этих величин не меняются при переходе к другой системе координат.

Главный вектор для любого центра приведения выражается векторной суммой: . Таким образом, главный вектор системы сил является векторным инвариантом. Для одной и той же системы сил он не зависит от выбора центра приведения.

Получим второй скалярный инвариант. Для этого умножим правую и левую части уравнения (9.2) скалярно на , получим

, (9.3)

или

, (9.4)

так как смешанное произведение векторов, содержащих два одинаковых множителя R, равно нулю, т.е. .

Как видно из соотношения (9.4), скалярное произведение главного момента на главный вектор не зависит от центра приведения, т.е. является вторым скалярным инвариантом: Выражение (9.4) можно записать так:

,

где - угол между векторами и , а - между и (рис. 9.4). После сокращения на R получим

. (9.5)

Проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от центра приведения. Разложим главный момент в каждом центре приведения на две взаимно перпендикулярные
Рис.9.4

составляющие, одна из которых направлена по главному вектору . Учитывая, что главные векторы в различных центрах приведения согласно (9.5) равны, получим (рис.9.4):

.