Вынужденные колебания. Резонанс

Колебания реальной системы всегда происходят с трением и с течением времени они затухают. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо компенсировать потери энергии воздействием на систему внешней силой.

Рис.5.8

Наиболее простой случай, когда внешняя сила F изменяется по гармоническому закону

(5.31)

где F₀ – амплитудное значение силы,

ω – циклическая частота действия вынуждающей силы.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными.

К силам, действующим при свободных колебаниях (5.26), прибавляется вынуждающая сила

или

(5.32)

где , – коэффициент затухания;

– собственная циклическая частота колебаний системы.

Это неоднородное дифференциальное уравнение незатухающих колебаний, решение которого равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону с частотой, равной частоте внешней силы ω. В этом случае решением уравнения (5.32) будет

(5.33)

где, А – амплитуда, φ – сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой.

А и φ зависят от соотношений между ω и ω₀. Чтобы установить эти зависимости воспользуемся уравнением (5.33) и подставим в уравнение (5.32) значение х, , .

После соответствующих преобразований получим:

(5.34)

и

(5.35)

Из выражения (5.34) видно, что амплитуда А зависит от частоты вынуждающей силы ω и при она максимальна. Резкое возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда циклические частоты вынуждающей силы и свободных колебаний близки друг к другу называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Резонансные кривые изображены на рис.5.9.

Из уравнения (5.34) видно, что при ω = 0

при ω ≈ ω₀ (при резонансе)

Рис.5.9

Из формулы (5.35) следует, что при ω = 0 φ = 0 фазы силы и колебания совпадают, а при резонансе (ω ≈ ω₀, φ = π/2) сила опережает колебания на π/2. При увеличении ω сдвиг фаз увеличивается и при ω >> ω₀, φ → π. Это значит, что фаза колебаний почти противоположна фазе вынуждающей силе.

В подтверждение сказанному можно продемонстрировать явление резонанса и сдвиг фаз на установке (рис.5.10). Если тяжелый правый маятник вывести из равновесия, то крайний левый, одинаковый по длине маятник, придет в резонанс и будет максимально отклоняться. При этом их колебания по фазе будут отличаться на π/2.

Рис.5.10

Явление резонанса может быть вредным и полезным. Явление резонанса учитывается в строительстве, используется в акустике, радиотехнике и т.д.