Устойчивость линейных САУ и качество процессов управления.

Устойчивость переходных процессов САУ является основным условием функционирования ЭТУ.

Устойчивость – это способность системы возвращаться в исходное установившееся равновесие после устранения возмущения, нарушившего равновесие.

Этаустойчивость определяется свойствами самой системы и не зависит от характера возмущения.

Линейная система будет устойчива , если переходный процесс, вызванный любым возмущением , будет затухающим(X(t)®0)

Поведение линейной системы описывается однородным д.у.:

Общее решение уравнения:

Это одна из частей аналитического решения общего интеграла, представляющего общее решение в виде суммы:

X(t)=Хпер(t)+Хуст(t)

Хуст(t)-частное решение неоднородного уравнения:

Решение Хпер(t) определяется видом и числом корней характеристического уравнения:

В общем случае корни являются комплексно сопряженными:

; i=1,2,3…n.

и составляющая переходного процесса, соостветствующая каждой точкой паре корней , имеет вид:

Эта составляющая представляет собой синусойду с амплитудой,изменяющейся во времени.

При <0 эта составляющая будет затухать,при >0 имеют место расходящиеся (система неустойчива), а при =0 в системе возникают незатухающие колебания.

Расположение всех корней характеристического уравнения в левой комплексной плоскости , это необходимое и достаточное условие устойчивости системы.

Для определения устойчивости не нужно знать точное значение корней, а знать знак действительных частей этих корней. Для этого разработаны косвенные методы, которые называют критериями устойчивости. Две группы критериев устойчивости:

Алгебраические и частотные.

Наиболее удобен критерий Найквиста. Этот критерий дает возможность судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ (W(jw)) разомкнутой системы . В этом критерии принимается условие: считать пересечение кривою АФЧХ (W(jw)) при изменении w (от 0 до ¥) отрезка вещественной оси от (-¥ до -1), сверху вниз- положительный переход и соответственно наоборот- отрицательный.

Если АФЧХ начинается на отрезке (-¥ до -1), то считают это за 0.5 перехода с соответствующим знаком.

, (1)

- число положительных переходов,

- число отрицательных переходов .

При этом условием устойчивости в замкнутом состоянии, является равенство (1) , где К-число правых полюсов передаточной ф-ции разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

Критерий Найквиста интерпретируется в логарифмической форме.

Если считать положительный переход кривой j(w) через прямые : -p; -3p; -5p … при L(w)>0 и при w®¥ , если считать переход снизу вверх – положительным ,сверху вниз –отрицательным.

Когда j(w) начинается на (-p) это считается за пол-перехода с соответствующим знаком.

Чтобы САУ была устойчива в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне изменения частот от 0 до wср , разность между числом положительных и отрицательных переходов через прямые j(w)= -p, -3p, -5p равнялась , где К – число правых полюсов.

Для оценки устойчивости системы , установления одного факта устойчивости недостаточно, необходимо оценить запас устойчивости, т.е. степень удаленности системы от границы устойчивости. Это необходимо, потому что практически реальная система из-за неточности математического описания системы или изменения во времени её параметров может оказаться неустойчивой. Из критерия Найквиста вытекают 2 величины, характеризующие запас устойчивости:

Запас устойчивости по фазе (Dj) – разность ординат ФЧХ в точках перехода через ноль кривой L и перехода через прямую (-p).

Запас устойчивости по амплитуде (DL)- разность ординат ЛАЧХ в точках перехода через ноль кривой L и в точке перехода кривой j(w).

Запас устойчивости по фазе определяет значение Dj на который должно возрасти запаздывание в системе на частоте среза wс, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде – определяется значением допустимого подъема ЛАЧХ при котором система оказывается на границе устойчивости. При проектировании рекомендуется выбирать :

Dj³30 град.

DL³6 Дб

Это соответствует примерно двойному изменению коэфициента передачи в пределах устойчивости системы.