Монотонные последовательности
Последовательность чисел называется неубывающей (возрастающей), если каждый последующий член последовательности не меньше (больше) предыдущего члена, т.е.
.
Если же каждый последующий член последовательности не больше (меньше) предыдущего члена, то последовательность называется невозрастающей (убывающей), т.е.
.
Эти четыре типа последовательностей называются монотонными.
Последовательность , где при всех , называется стационарной. Стационарная последовательность является неубывающей, а также невозрастающей.
Чтобы установить, что последовательность , например, убывает, достаточно доказать, что неравенство при всех . Если же члены последовательности положительны, то последовательность будет убывать, если неравенство при всех .
Свойство точных граней монотонных
последовательностей
1.Число является точной верхней гранью неубывающей или возрастающей последовательности тогда и только тогда для каждого неравенство справедливо при всех .
2. Число является точной нижней гранью невозрастающей или убывающей последовательности , тогда и только тогда, когда для каждого неравенство справедливо при всех .
Доказательство.
1.Пусть является точной верхней гранью неубывающей или возрастающей последовательности , т.е. . Тогда имеем цепочку равносильных утверждений: не является верхней гранью множества содержит такой элемент , для которого
, если (так как последовательность неубывающая или возрастающая, то , если ).
2. Случай невозрастающей или убывающей последовательности рассматривается аналогично. ■
Примеры.
2.1.Доказать, чтоследующие последовательности являются монотонными и найти их точные грани:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение
а)Последовательность является возрастающей, так как последующий член больше предыдущего. Эта последовательность неограниченна сверху, так как неравенство выполняется при всех . Следовательно, эта последовательность не имеет точной верхней грани. Элемент является наименьшим ее элементом.
б) Последовательность , и , является убывающей, так как для всех имеем:
.
Отсюда следует, что элемент является наибольшим элементом последовательности.
Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:
Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .
в) Последовательность является убывающей, если :
для всех .
Следовательно, элемент является наибольшим элементом.
Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:
.
Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .
г) Последовательность , является возрастающей, если , так как последующий член больше предыдущего. Она неограниченна сверху, так как неравенство выполняется при всех , поэтому последовательность не имеет точной верхней грани. Элемент является наименьшим ее элементом.
д) Последовательность является возрастающей, так как для всех имеем:
,
поэтому элемент является ее наименьшим элементом.
Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:
.
Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .
2.2. Найти такое натуральное число , что при всех последовательность убывает.
Решение. Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:
.
Последнее утверждение в этой цепочке является истиной при всех . Следовательно, отношение также является истиной при всех , поэтому последовательность является убывающей при всех . ●
Теорема 2.2.Каждая числовая последовательность либо содержит убывающую, либо содержит неубывающую подпоследовательность.
Доказательство.Назовем элемент последовательности правильным, если все последующие члены последовательности меньше . Если элемент не является правильным, то будем называть его неправильным.
Если правильных элементов бесконечно много, то они образуют убывающую подпоследовательность: если и — правильные элементы и , то , так как правильный элемент.
Если же правильных элементов конечное множество, то обозначим через наибольший номер этих элементов. Тогда все элементы последовательности, номера которых больше , являются неправильными.
Рассмотрим неправильный элемент , . Так как — неправильный элемент, то среди следующих за ним элементов найдется такой элемент , что , . Элемент тоже неправильный ( и среди следующих за этим элементов найдется такой элемент , что . Продолжая процесс построения элементов таким образом далее, получим неубывающую подпоследовательность .■
Задачи
2.1. Доказать монотонность последовательностей:
а) , б) , в) , г) .
2.2. Найти точные грани следующих последовательностей :
a) ; б) ; в) .
2.3. Найти точную верхнюю грань следующих последовательностей:
а) ;
б) .
(Указание: представить член последовательности в виде суммы слагаемых).
2.4. Найти такое натуральное число , чтобы при всех последовательность была монотонной:
a) , б) !.
2.5. Доказать, что каждая последовательность содержит либо возрастающую последовательность, либо невозрастающую последовательность.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 4299;