Теорема Котельникова

Любой непрерывный сигнал может быть представлен отдельными дискретными отсчетами, определенными в соответствии с теоремой Котельникова. Непрерывный сигнал, ограниченный спектром 0-F_в
(рис. 1.21) может быть представлен дискретными отсчетами, взятыми с интервалом

, (1.9)

где F_в – верхняя частота в спектре сигнала.

Рис. 1.21 Рис. 1.22

Процесс замены непрерывного сигнала на дискретные отсчеты называется дискретизацией. Величина, обратная интервалу дискретизации
f_д = 1/∆t, называется частотой дискретизации. Теорема Котельникова может иметь другое условие: f_д ≥ 2F_в – частота дискретизации должна быть как минимум вдвое выше верхней частоты спектра сигнала.

Если спектр сигнала находится в полосе частот ∆F = f_в - f_н, не включая нулевых частот, то правило дискретизации Котельникова выглядит так: f_д ≥ 2∆F.

Термин "может быть представлен" подразумевает полное (без потери информации) восстановление сигнала по его дискретам не только в точках дискретных отсчетов, но и в любой другой точке. С этой целью Котельников предложил специальный ряд:

sinc 2πF_в(t-k∆t), (1.10)

здесь k – порядковый номер дискретного отсчета;

sinc x – специфическая функция вида:

sinc х = , (1.11)

где .

Sinc х представляет собой затухающую периодическую функцию. Особо следует отметить значение этой функции в точке 0. устанавливает неопределенность, которая раскрывается по правилу Лапиталя.

.

Ряд Котельникова имеет специфическую функцию sinc x, при которой он зависит только от своего отсчета и не влияет на другие отсчеты, так как проходит через значения 0 в моменты других отсчетов. В точке х необходимо просуммировать отрезки от всех функций ряда и получить по отсчетам исходное значение непрерывной функции R (рис. 1.24).

Рис. 1.23

Рис. 1.24

Восстановление непрерывного сигнала будет тем точнее, чем больше функций отсчетов будет привлечено к формированию значения искомой точки R. Для повышения качества отсчета (минимума возможной ошибки) желательно брать отсчеты чаще, т.е. уменьшать ∆t (или что тоже самое увеличивать частоту дискретизации f_д↑).

Дискретное представление сигналов позволяет использовать его для временного уплотнения канала связи, в промежуток времени между дискретными отсчетами можно поместить дискретные отсчеты другого сигнала.

Такой принцип уплотнения называется ВРК – временное разделение каналов.

Период дискретизации здесь одинаков для каждого сигнала (канала), а отсчеты сдвинуты по времени.

Реальный дискретный отсчет имеет протяженность и представляет прямоугольный импульс. При прохождении импульса через реальную линию, обладающую потерями в виде приведенной RC – эквивалентной схемы, дискретный импульсный сигнал претерпевает временные искажения ("затягивания"), что может привести к попаданию части энергии сигнала одного канала в другой канал. Это явление называют "внятными переходными помехами". Для снижения этих помех надо, во-первых, улучшать канал (снижать потери) и, во-вторых, желательно увеличить временное расстояние между отсчетами - ∆t (или, что тоже самое, уменьшать частоту дискреции f_д↓).

Рис. 1.26 Рис. 1.27

Рис. 1.28

В результате мы приходим к противоречию: с одной стороны для увеличения качества восстановления дискретизированного сигнала необходимо частоту дискретизации увеличивать f_д↑, с другой, для уменьшения взаимного влияния каналов в плохой линии нужно частоту дискретизации уменьшать f_д↓. Для дискретизации телефонного канала с полосой частот 0,3÷3,4 кГц, т.е. ∆F = 3,1 кГц по теореме Котельникова следует взять частоту дискретизации f_д≥2∆F≥6,2 кГц. По рекомендации МККТТ приняты международные нормы, по которым частота дискретизации определена в f_д = 8 кГц.

Литература:

[1] стр. 50-54. [2] стр. 44-49. [3] стр. 64-70.

Контрольные вопросы:

1. Какие ограничения существуют для дискретного представления сигналов?

2. Запишите ряд Котельникова и поясните физическую сущность членов ряда.

3. Какие условия необходимо соблюсти для полного восстановления непрерывного сигнала?

4. На каких принципах основана система с временным разделением сигналов?

5. Как выбрать частоту дискретизации для целей временного разделения каналов?