Задачи, приводящие к понятию производной

Задача о скорости: Пусть материальная точка М движется по прямой. Положение ее определяется расстоянием S, отсчитываемым от некоторой «начальной» точки О. Время движения t отсчитывается от некоторого начального момента (причем, совсем не обязательно, чтобы точка М в этот момент находилась в точке О). Очевидно, S есть функция времени t. Движение считается вполне заданным, если известно уравнение движения: S = f(t). Это уравнение называют законом движения точки.

Найдем мгновенную скорость точки М, т.е. ее скорость в заданный момент времени t. Придадим переменной t некоторое приращение Dt и рассмотрим момент времени t + Dt, когда точка окажется в положении М₁.

Приращение пути ММ₁ за промежуток Dt обозначим DS, причем

DS = f(t+Dt) –f(t).

Разделим обе части этого равенства на Dt. Тогда есть средняя скорость v_ср точки на участке ММ₁, т.е. за промежуток времени Dt: v_ср = . Эта скорость меняется вместе с изменением Dt, причем, чем меньше Dt, тем лучше v_ср характеризует скорость движения точки М в момент t. Исходя из этого, скоростью v точки в момент времени t (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость v_ср при Dt ® 0. Таким образом,

.

Следовательно, задача об отыскании мгновенной скорости точки сводится к вычислению предела отношения приращения пути к приращению времени, когда последнее стремится к нулю.

Задача о касательной. Прежде чем сформулировать задачу, дадим определение касательной. Рассмотрим кривую L, и пусть М – какая-либо точка этой кривой. Рассмотрим еще одну точку М₁ кривой L и проведем секущую ММ₁. Когда точка М₁ будет перемещаться вдоль кривой L, приближаясь к М, секущая ММ₁ будет менять свое положение и стремится к положению МТ.

Касательной к кривой L в точке М называется предельное положение секущей ММ₁, когда точка М₁ вдоль кривой стремится к точке М.

Из этого определения следует, что угол М₁МТ стремится к нулю, когда к нулю стремится хорда ММ₁.

Не всякая кривая в любой своей точке может иметь касательную:

Пусть непрерывная кривая L задана уравнением у = f(x), а М(х, у) – некоторая точка этой кривой. Имеет ли заданная кривая касательную в точке М?

Рассмотрим на этой кривой точку М₁(х+Dх ; у + Dу) и проведем секущую ММ₁.

Секущая образует с осью ОХ угол b. Из рисунка видно, что . Но когда Dх ® 0, точка М₁ вдоль кривой стремится к точке М, |MM₁| ® 0, секущая ММ₁ стремится занять положение касательной МТ, а Ð М₁МТ® 0 . При этом угол Ð b = Ða + ÐМ₁МТ стремится к Ða. Значит,

.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, существует ли касательная к кривой у = f(x) в заданной точке М, нужно убедиться в существовании конечного или бесконечного предела отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента в этой точке, при стремлении приращения аргумента к нулю.

Обе рассмотренные задачи привели к необходимости вычисления предела по существу одного и того же типа: отношения приращения одной величины к приращению другой, когда последнее стремится к нулю.

Поэтому есть смысл изучать подобные пределы, абстрагируясь от конкретной природы вопроса.