Производные высших порядков

Пусть функция у = f(x) имеет в каждой точке множества D производную f ¢(х). Как уже отмечалось ранее, производная f ¢(х) сама является функцией переменной х и, в свою очередь, может иметь производную на некотором множестве. Тогда (f ¢(х))¢ называется производной второго порядка от функции у = f(x) (или второй производной) и обозначается у¢¢. Таким образом

у¢¢ = (f ¢(х))¢.

Используются также следующие обозначения второй производной функции у = f(x): f ¢¢(х), , . Функцию у = f(x) при этом называют дважды дифференцируемой.

Аналогично, если функция имеет производную, то эта производная называется производной третьего порядка от функции у = f(x) и обозначается у¢¢¢, или f ¢¢¢(х), или , или ; у = f(x) при этом трижды дифференцируемая.

В общем случае, имеем

Определение 4.3.

п-ой производной (производной п-го порядка) функции у = f(x) называется производная от п–1- й производной этой функции:

f ^(п)(х) = (f ^(п–1)(х))¢.

Обозначается , , .Число п называют порядком производной.

Порядок производной можно указывать либо в скобках арабскими цифрами, либо римскими цифрами без скобок: у⁽⁵⁾ = у^V.

Производные у¢¢, у¢¢¢, у^IV,… называют производными высших порядков. Принято считать, что у⁽⁰⁾ = у – сама функция.