Определение производной. Геометрический и физический смысл.

Пусть функция у = f(x) определена на множестве D. Возьмем некоторое значение х Î D аргумента и придадим ему приращение Dх (положительное или отрицательное) так, чтобы х + DхÎ D. Тогда значение функции у = f(x) в начальной точке изменится и станет равным у + Dу = f(х + Dх), т.е. функция получит приращение Dу = f(х + Dх) – f(x) (рис.).

Определение 4.1. Предел отношения приращения Dу функции у = f(x) к вызвавшему его приращению Dх аргумента при стремлении Dх к нулю называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается f ¢(x).

Таким образом,

. (1)

Наряду с обозначением f ¢(x), используется обозначения

у¢, у_х¢, , , .

Равенство (1) определяет правило (закон) по которому каждому значению хÎD ставится в соответствие конечное или бесконечное значение производной, т.е. производная есть функция переменной х.

Используя определение производной, можно теперь сказать, что скорость движущейся точки в каждый момент времени есть производная от пути по времени. Если эту физическую иллюстрацию обобщить на случай произвольной функции, рассматривая изменение функции как пройденный путь, а изменение аргумента как время, то получим

Физический смысл производной: производная функции есть скорость изменения функции при изменении ее аргумента.

Аналогично, используя результаты задачи о касательной, получим

Геометрический смысл производной: производная функции у = f(x) в точке х есть тангенс угла наклона к оси ОХ касательной, проведенной к графику функции в точке (х, f(x)).

Теорема 4.1.(необходимое условие существования производной)

Если функция у = f(x) имеет в точке х₀ производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: Если для функции у = f(x) в точке х₀ существует производная, то существует предел

Если этот предел конечный, то по теореме 2.4 имеем

,

где a(х) есть бесконечно малая при Dх ® 0. Отсюда получаем

Dу = f ¢(x₀)Dx + a(x)Dx.

Рассмотрим

= 0,

а это, согласно второму определению непрерывности функции в точке, означает, что функция у = f(x) непрерывна в точке х₀.

Предположим теперь, что = + ¥ (или –¥), причем это возможно тогда и только тогда, когда односторонние пределы бесконечны и одинакового знака. Пусть, для определенности,

Тогда и .

Но это означает, что числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый знак. В первом случае f(х₀ + Dх) – f(x₀) > 0, т.к.Dх ® +0, т.е. Dх > 0. Во втором случае f(х₀ + Dх) – f(x₀) < 0 при Dх < 0. А такое возможно только если

f(х₀ + Dх) ® f(x₀) при х ® х₀,

т.е. функция у = f(x) непрерывна в точке х₀. ЧТД.

Случай бесконечной производной графически можно представить так:

Таким образом, в каждой точке, в которой существует производная функции, эта функция обязательно непрерывна. Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции в точке не следует существование в этой точке конечной производной. Продемонстрируем это на примере.

Рассмотрим функцию

Эта функция непрерывна в точке х₀ = 1, т.к.

f(1) = 1,

f(1+0) = = 1,

f(1– 0) = = 1.

Но в этой точке не существует производная функции. Действительно, если Dх = х – 1> 0, то

.

Если же Dх = х – 1< 0, то

Значит, , а это, согласно критерию существования предела означает, что не существует.

Заметим, что в этом случае можно говорить о существовании односторонних производных:

f ¢(x₀+0) = и f ¢(x₀ –0) = .

Тогда существование производной функции f(x) в точке x₀ равносильно существованию f ¢(x₀+0), f ¢(x₀ –0) и выполнению условия f ¢(x₀+0) = f ¢(x₀ –0).

В рассмотренном примере f ¢(1+0) = 2, f ¢(1 –0) = 1.

Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Дадим еще одно важное

Определение 4.2.

Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение Dу в этой точке, соответствующее приращению Dх, представимо в виде Dу = А.Dх + о(Dх), где А – некоторая константа.

Справедлива

Теорема 4.2. (критерий дифференцируемости)

Функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀ тогда и только тогда, когда она в этой точке имеет конечную производную.

Доказательство:1) Достаточность. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀. Значит, ее приращение в этой точке представимо в виде

Dу = А.Dх + о(Dх),

где А – некоторая константа. Разделим обе части этого равенства на Dх и перейдем к пределу при Dх ® 0:

.

Значит, данная функция в точке х₀ имеет конечную производную, равную А.

2) Необходимость. Если функция у = f(x) в точке х₀ имеет конечную производную, т.е. , то согласно теореме 2.4,

, откуда Dу = f ¢(x₀)Dx + a(x)Dx,

где a(х) – бесконечно малая при Dх ® 0.

Так как , то a(x)Dx = о(Dх). Значит,

Dу = А.Dх + о(Dх), где А = f ¢(x₀). ЧТД.

Таким образом, понятия «дифференцируемая функция» и «функция, имеющая конечную производную» – равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Функция f(x) дифференцируема на множестве Х, если она имеет производную в каждой точке этого множества.

Основные правила дифференцирования вам известны еще из школьного курса, поэтому здесь мы их только напомним (доказательство этих правил разберите самостоятельно). Пустьс -постоянная, u = u(x)иv = v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

1. ( с)¢ = 0

2. (c×u)¢ = c×u¢

3. ( u + v )¢ = u¢ + v¢

4. ( u - v )¢ = u¢ - v¢

5. ( u× v)¢ = u¢v + uv¢

6.

6.а.

7. ( F(u(x)) )¢ = F¢(u)×u¢(x)

8. ,если у(х) и х(у) – взаимно обратные функции.

Докажемдва последних правила:

7) Если функция и = и(х) дифференцируема в точке х₀, а функция у = F(u) имеет производную в точке и₀ = и(х₀), то функция F(u(x))имеет производную в точке х₀, причем

( F(u(x₀)))¢ = F ¢(u₀)×u¢(x₀)

Доказательство: Пусть х = х₀, придадим переменной х приращение Dх и рассмотрим точку х₀ + Dх. Тогда функция и = и(х) получит приращение

Dи = и(х₀ + Dх) – и(х₀).

Этому приращению будет соответствовать приращение

DF = F(u₀+Dи) – F(u₀).

Причем, в силу существования производных заданных функций, а следовательно, их непрерывности в соответствующих точках, имеем

Dх ® 0 Þ Dи ® 0 Þ DF ® 0.

Поскольку

, то ,

где a бесконечно малая при Dи ® 0, а, значит, и при Dх ® 0. Из этого равенства имеем

DF = F ¢(u₀)×Dи + aDи.

Разделив обе части этого равенства на Dх, и переходя к пределу при Dх ®0, получим

F ¢(х₀) =

= . ЧТД.

 

8) Если функция у = у(x) и ее обратная х = х(y) дифференцируемы, причем у ¢(x) ¹ 0, то

Доказательство: По определению обратной функции, х(y(х)) = х для всех х из области определения этой функции. Поэтому, согласно предыдущей теореме,

(х(y(х)))¢ = х¢(у).у¢(х) = 1,

откуда и следует равенство . ЧТД.

 

Заметим, что в доказательстве использован известный из школьного курса факт, что производная независимой переменной равна 1. Доказательство этого факта очень просто: если у = х, то по определению

у¢ = х¢ = .

 

Кроме правил вычисления производной, в школе вы доказывали и использовали формулы вычисления производных основных элементарных функций. Сведем эти формулы в единую таблицу, которую следует заучить наизусть.

В левой колонке таблицы указаны производные основных элементарных функций, а в правой – производные сложной функции соответствующего вида.

Таблица производных основных элементарных функций x - независимая переменная, u = и(х) – дифференцируемая функция,
1.1. х¢ = 1 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. (sin x)¢ = cos x 1.9. (cos x)¢ = – sin x 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15.	2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. (sin и)¢ = cos и × и¢ 2.9. (cos u)¢ = – sin и× и¢ 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15.