Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому.

Пусть дана система векторов {а₁, а₂, …, а_k } линейного пространства L и известны координаты этих векторов в некотором базисе Б:

а₁= (а₁₁, а₂₁, …, а_п1),

а ₂= (а₁₂, а₂₂, …, а_п2),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

а_k= (а_1k, а_2k, …, а_пk).

Рассмотрим матрицу этой системы векторов, т.е. матрицу, столбцы которой есть координаты векторов системы в заданном базисе:

.

Оказывается, с помощью ранга матрицы системы векторов можно сделать вывод о линейной зависимости или независимости этих векторов. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3

Для того чтобы k векторов п-мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен k.

Как уже отмечалось, координаты вектора зависят от выбранного базиса. Рассмотрим два базиса Б₁:{а₁, а₂, …, а_п} и Б₂:{ } линейного пространства L. Так как векторы и есть векторы одного и того же линейного пространства L, то векторы базиса Б₂ можно разложить по базису Б₁. Пусть эти разложения имеют вид

откуда

Определение 3

Матрица векторов базиса Б₂ в базисе Б₁ называется матрицей перехода от базиса Б₁ к базису Б₂ и обозначается или просто Т.

. (2.2)

Матрица перехода от одного базиса к другому есть невырожденная квадратная матрица.

Рассмотрим произвольный вектор хлинейного пространств L. Пусть известны координаты этого вектора в базисе Б₁ и в базисе Б₂:

х , х .

Обозначим соответствующие координатные столбцы и . Тогда имеют место формулы преобразования координат:

= и = × ,

или в матричной форме

Х = ×Х , Х = ×Х .