Линейная зависимость векторов. Базис линейного пространства

Рассмотрим совокупность (в математике принято говорить – систему) векторов а₁, а₂, …, а_k линейного пространства L.

Выражение вида называют линейной комбинацией векторов этой системы, а числа a₁, a₂, …, a_k – коэффициентами этой линейной комбинации.

Если , то говорят, что вектор а линейно выражается через векторы а₁, а₂, …, а_k или что вектор а является линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_k .

Определение 2

Система а₁, а₂, …, а_k векторов линейного пространства L называется линейно зависимой, если найдутся числа a₁, a₂ ,…,a_k , среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие что .

В этом случае говорят также, что векторы а₁, а₂, …, а_k линейно зависимы.

Определение 3

Система а₁, а₂, …, а_k векторов линейного пространства L называется линейно независимой, если равенство выполняется лишь при условии, что a₁= a₂ = …= a_k = 0.

В этом случае также говорят, что векторы а₁, а₂, …, а_k линейно независимы.

Сформулируем без доказательства критерий линейной зависимости

Теорема 1

Система векторов а₁, а₂, …, а_k линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Из теоремы 1 следует, что система векторов а₁, а₂, …, а_k линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из векторов этой системы не является линейной комбинацией остальных.

Линейно независимая система векторов а₁, а₂, …, а_k называется максимально линейно независимой, если для любого вектора bÎL система а₁, а₂, …, а_k, b – линейно зависима.

Для примера рассмотрим пространство V². Любые два неколлинеарных вектора этого пространства линейно независимы. Действительно, предположим, что неколлинеарные векторы и линейно зависимы. Тогда существуют такие числа a и b, не равные одновременно нулю, что . Пусть b ¹ 0. Тогда из предыдущего равенства находим b = – a или , а это означает, что векторы и коллинеарны, что противоречит нашему предположению. Следовательно, неколлинеарные векторы и линейно независимы.

Любые три вектора пространства V² линейно зависимы. Докажем это. Пусть , , – три вектора, лежащие в одной плоскости. Достаточно рассмотреть следующие случаи.

а) Пусть один из этих векторов нулевой, например, =`0, тогда очевидно равенство

0 + 0 + 1 =`0,

значит, существует нетривиальная линейная комбинация рассмотренных векторов, равная нулевому вектору. Следовательно, рассмотренные векторы линейно зависимы.

б) Пусть , , – ненулевые и два из них коллинеарны, например, || . Тогда , , откуда , это означает, что есть линейная комбинация векторов и . Следовательно, согласно теореме 2.1, векторы , , линейно зависимы.

В

`b

в) Предположим теперь, что векторы , , – ненулевые и попарно неколлинеарны. Отложим их от одной точки О: , , (рисунок 8). Через точку С

А1

А

`с

`а

В1

О

С

проведем прямые, параллельные прямым, на которых лежат векторы и , точки пересечения обозначим соответственно А₁ и В₁. Тогда векторы и коллинеарны соответственно векторам и . Следовательно, существуют числа a и b такие, что = a и = b . С другой стороны, вектор есть диагональ параллелограмма ОА₁СВ₁ и значит, равен сумме векторов и :

= + = a + b . (*)

Таким образом, вектор есть линейная комбинация векторов и , следовательно, векторы , , – линейно зависимые.

Если взять систему из большего числа векторов , , , , …, , то из равенства (*), доказанного для произвольных трех векторов, следует

= a + b + .

Это означает, что система , , , , …, линейно зависима.

Таким образом, в пространстве V² максимально линейно независимую систему образуют два неколлинеарных вектора.

Определение 2

Базисом линейного пространства L называется упорядоченная максимально линейно независимая система а₁, а₂, а₃, …, а_п векторов этого пространства. Число n векторов базиса называется размерностью линейного пространства, само пространство при этом называется п-мерным.

Если хотят подчеркнуть, что линейное пространство Lимеет размерность п, пишут Lⁿ. Линейное пространство, базис которого состоит из конечного числа векторов, называют конечномерным. Линейное пространство называют бесконечномерным, если для всякого натурального п в этом пространстве найдется п линейно независимых векторов.

Заметим, что если размерность линейного пространства равна п, то любые п линейно независимых векторов линейного пространства образуют базис этого пространства. Каждое п-мерное линейное пространство имеет бесконечно много базисов и все они состоят из п векторов.

Рассмотрим примеры базисов некоторых линейных пространств.

1. Выше было доказано, что в пространстве V² максимально линейно независимую систему образуют два неколлинеарных вектора. Следовательно, пространстве V² базис образует любая упорядоченная система двух неколлинеарных векторов.

2. В пространстве V³ базис образует любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов. Доказательство можно провести аналогично тому, как это было сделано для пространства V²_.

3. Рассмотрим пространство Rⁿ числовых строк длины п. Покажем, что векторы

=[1, 0, 0, …, 0], = [0, 1, 0,…, 0], …, =[0, 0, 0, …,1]

образуют линейно независимую систему. Для этого рассмотрим произвольную линейную комбинацию этих векторов и выясним, при каких значениях коэффициентов выполняется равенство:

.

или

a₁[1, 0, 0, …, 0] + a₂[0, 1, 0,…, 0] + … + a_п[0, 0, 0, …,1] = [0, 0,…, 0].

Выполнив действия над векторами в левой части равенства, получим

[a₁, a₂, … , a_n] = [0, 0,…, 0],

откуда, очевидно, a₁= 0, a₂= 0, …, a_п= 0. Это значит, что равенство выполняется лишь при условии a₁= 0, a₂= 0, …, a_п= 0, откуда следует, что рассматриваемая система векторов линейно независима. Покажем, что эта система максимально линейно независима.

Пусть х= [х₁, х ₂, …, х _п] – произвольный вектор пространства Rⁿ . Очевидно, можно записать

[х₁, х ₂, …, х _п] = х₁[1, 0,…, 0] + х₂[0, 1,…, 0] + … + х_п[0, 0,…, 1]. (**)

А это значит, вектор х есть линейная комбинация векторов . Таким образом, в пространстве Rⁿ система векторов , х линейно зависима для любого вектора х. Значит, система максимально линейно независима, и значит, образует базис пространства Rⁿ.

Теорема 2

Если система а₁, а₂, …, а_п есть базис линейного пространства L, то, для любого вектора хÎL существуют единственная система чисел a₁, a₂, …, a_п таких, что

, (1)

т.е. любой вектор пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации векторов базиса.

Если а₁, а₂, …, а_п – базис линейного пространства L, а х – произвольный вектор пространства L, то равенство

х = a₁а₁+ a₂а₂+ …+ a_па _п

называется разложением вектора х по базису а₁, а₂, …, а_п. Коэффициенты этого разложения a₁, a₂, …, a_п называются координатами вектора хв заданном базисе.

Тот факт, система векторов а₁, а₂, …, а_п есть базис пространства, будем записывать Б: {а₁, а₂, а₃, …, а_п}, а то, что числа a₁, a₂, …, a_п являются координатами вектора х в базисе Б:{а₁, а₂, …, а_п} будем обозначать

х = (a₁, a₂, …, a_п)_Б или х_Б = (a₁, a₂, …, a_п).

Строку (a₁, a₂, …, a_п) называют координатной строкой вектора х в заданном базисе

Если векторы линейного пространства L заданы своими координатами в некотором базисе, то линейные операции над этими векторами сводятся к операциям над их координатами. При этом:

1) нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты:

0 = (0, 0, … , 0);

2) два вектора равны тогда и только тогда, когда равны ихсоответствующиекоординаты:

х= у Û a₁= b₁,a₂ =b₂, …, a_п = b_п.

3) координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых: если х= (a₁,a₂, …, a_п), у= (b₁,b₂, …, b_п), то

х + у= (a₁+ b₁,a₂ +b₂, …, a_п + b_п).

4) координаты произведения вектора на число равны произведениям координатвекторана это число: если х= (a₁, a₂, …, a_п), l – число, то

lх= (la₁,la₂, …, la_п)

Заметим, что строка (a₁, a₂, …, a_п) есть вектор линейного пространства Rⁿ числовых строк длины п. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами произвольного п-мерного линейного пространства L и пространства Rⁿ числовых строк длины п. Поэтому любые действия с векторами рассматриваемого линейного пространства могут быть заменены соответствующими действиями над координатами этих векторов в выбранном базисе, т.е. над векторами пространства Rⁿ.

Договоримся о следующих обозначениях.

Если речь будет идти о векторах ЛП Rⁿ, то будем их обозначать [х₁, х₂, …, х_п] (т.е. компоненты числовой строки будем писать в квадратных скобках). Если же эта числовая строка определяет координаты некоторого вектора п-мерного ЛП в заданном базисе, то будем писать(х₁, х₂, …, х_п), т.е., как и раньше, координаты вектора будем писать в круглых скобках.

Очевидно, что координаты вектора зависят от выбора базиса: один и тот же ненулевой вектор в разных базисах имеет разные координаты. Поэтому, записывая вектор в координатной форме, нужно всегда оговаривать, в каком базисе эти координаты заданы.

В каждом линейном пространстве из множества всевозможных базисов можно выделить такой, разложение по которому векторов пространства осуществляется наиболее просто. Такие базисы называют каноническими (от греческого χανων – канон, правило, образец, норма). Будем обозначать канонический базис Б_к. Например, в пространстве Rⁿ координаты произвольного вектора х =равны его компонентам, что следует из равенства (**). Поэтому в пространстве Rⁿ канонический базис образуют векторы

=[1, 0, 0, …, 0], = [0, 1, 0,…, 0], …, =[0, 0, 0, …,1].

Без доказательства отметим, что в пространстве R_п(x) многочленов степени не выше п базис образуют любые линейно независимых многочлена. Канонический базис Б_к этого пространства образуют векторы-многочлены

1, x, x², …, xⁿ

Действительно, любой вектор-многочлен

,

фактически, уже разложен по этому базису

,

Следовательно, координаты вектора Р(х) в базисе Б_к:{1, x, x², … , xⁿ} имеют вид (а₀, а₁, …, а_п), т.е. равны коэффициентам этого многочлена, взятым в порядке, соответствующем порядку векторов в базисе.

В ЛП М₂ матриц второго порядка канонический базис образуют матрицы , , , .