Движение отдельных заряженных частиц и их потоков

Сначала рассмотрим наиболее простой случай дви­жения отдельных заряженных частиц. С известным при­ближением это рассмотрение применимо к потокам ча­стиц, когда плотности их настолько малы, что всяким взаимодействием между частицами можно пренебречь. Например, для слабых пучков электронов или ионов в вакууме можно не принимать во внимание действие их собственного объемного заряда.

Движение отдельной заряженной частицы описывает­ся следующим общим уравнением:

(6.1)

где М_j— масса частицы (электрона или иона); Z_j— зарядовое число (для электронаZ_e=—1);
— скорость частицы; Н_о— напряженность магнитного по­ля; с—скорость электромагнитных волн в вакууме; F— равнодействующая всех энергетических сил, воз­действующих на частицы (электрических, гравитацион­ных и т. п.).

Воздействие магнитного поля учитывается для удоб­ства отдельно от остальных сил, поскольку оно, дейст­вуя перпендикулярно направлению движения, не изме­няет энергии частиц.

Уравнение (6.1) можно решить лишь в некоторых простейших случаях. Рассмотрим некоторые из них, а затем перейдем к так называемому дрейфовому приближению.

4.2. Движение частиц в электрическом полеE₀

В данном случае уравнение (6.1) запишем

(6.2)

где q_j— заряд частицы.

В зависимости от вида поля, т. е. в зависимости его от координат и времени, интегрирование (6.2) дает различные результаты. Рассмотрим некоторые частные примеры, которые пригодятся нам для дальнейшего изложения.

Пример 1. Пусть напряженность поля постоянна как в пространстве, так и во времени (Е₀=const). Найдем траекторию движения иона, влетевшего в это электрическое поле под некоторым углом θ с начальной скоростью u₀. (рис.1)

Интегрируя (6.2), получаем

(6.3)

(6.4)

где u_0xиu_0y–компоненты начальной скорости. Исключая t, получаем

(6.5)

Это уравнение параболы. Движение аналогично движению камня, брошенного под углом к горизонту. Это понятно, поскольку электрическое поле и поле тяготения – суть потенциальные.

Пример 2. Электрическое поле однородно в пространстве, но изменяется во времени (для простоты примем гармонический закон изменения E₀). В поле влетает электрон, направление начальной скорости которого перпендикулярно направлению переменного электрического поля. Определим закон движения электрона.

Направим ось у вдоль поля. Тогда

(6.6)

(6.7)

Здесь E_m0 – амплитуда напряженности электрического поля; ψ – фазовый угол поля в момент t=0, когда электрон начинает свое движение.

Проинтегрировав (6.6), (6.7), получим

(6.8)

(6.9)

где u_0x, u_0y – компоненты начальной скорости электрона. В нашем случае u_0y=0.

Перемещение частицы определяется системой

(6.10)

(6.11)

Из формул (6.8), (6.9) видно, то происходит стационарный дрейф частиц с постоянной скоростью, на который наложено синусоидальное колебание с амплитудой (рис.2).

Это происходит, например, в высокочастотных разрядах низкого давления или при очень высоких частотах, когда число упругих соударений электронов с молекулами или ионами ν_m намного меньше, чем частота поля ω. Интересно отметить, что в идеальном приближении (ν_m→0) поглощения высокочастотной энергии не происходит, так как колебательная составляющая скорости сдвинута по фазе с полем на угол π/2, а постоянная в разные полупериоды связана то с поглощением энергии, то с отдачей ее обратно полю.

4.3. Движение частиц в магнитном поле Н₀

Если все силы, кроме магнитного поля, отсутствуют, то уравнение движения (6.1) запишемв виде

(6.3)

Решение этого уравнения зависит, как и в случае электрического шля, отвида правой части. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Частица (электрон или ион) с некоторой скоростью u_j влетает в однородное постоянное магнитное поле напряженностью H₀. Необходимо определить закон ее движения.

Разложим полную скорость движения частицы в магнитном поле на две компоненты: u_пр– вдоль поля, u_пер – перпендикулярную к нему:

(6.13)

Из уравнения (6.12) следует, что

(6.14)

Следовательно,

(6.15)

т. е. частица вдоль поля движется равномерно. Для другой компоненты

(6.16)

Скорость изменения вектора u_перперпендикулярна вектору. В связи с этим изменение этого вектора во времени можно пред­ставить как вращение с некоторой угловой скоростью ω_j

(6.17)

Отсюда

(6.18)

Частица равномерно вращается вокруг направления Н₀ с угловой скоростью ω_j, называемой циклотронной или ларморовской частотой, по окружности с ларморовским радиусом,

(6.19)

Для положительно заряженной частицы угловая скорость ω_jнаправлена против Н₀, для электронов — по вектору Н₀(рис. 3). Из-за большой разности в массах электронов и ионов радиусы их ларморовских окружностей отличаются друг от друга на много порядков.

Периоды обращения по ларморовским окружностям

(6.20)

Кроме вращения, частица движется поступательно со скоростьюu_пр, следовательно, полное ее движение происходит по винтовой линии, которая навивается на силовую линию поляН_о. Шагэтой винтовой линии

(6.21)

При увеличенииН_о, как видно из выражений (6.19) и (6.21), уменьшается радиус ларморовской окружности и шаг винтовой линии, но линейная скорость при этом не меняется.

Циклотронное вращение в постоянном однородном магнитном поле сохраняет свой вращательный момент (момент количества движения)

(6.22)

где W_⊥– кинетическая энергия циклотронного вращения

(6.23)

Следовательно, и

(6.24)

Величина W_⊥/H₀ равна магнитному моменту вращающегося в магнитном поле заряда. В самом деле, движение заряда по ларморовской окружности можно рассматривать как круговой ток

(6.25)

его магнитный момент

(6.26)

где S — площадь ларморовской окружности.

Пример 2. Теперь рассмотрим, что произойдет, если частица влетает в медленно изменяющееся (во времени) магнитное поле.

Под таким полем мы будем подразумевать поле, в котором за один оборот по ларморовской окружности радиус ее почти не меняется:

(6.27)

Покажем, что и в этом случае магнитный момент приблизительно сохраняет свою величину (в этом случае его называют адиабатическим инвариантом).

Если магнитное поле представляет собой функцию времени, то, как известно, возникает вихревое электрическое поле, циркуляция которого по замкнутому контуру не что иное, как электродвижущая сила (э. д. с).

(6.28)

где Е_l—напряженность электрического поля вдоль ларморовскойокружности, по которой производится интегрирование; φ— магнитный поток через площадь ларморовского круга.

Изменение энергии циклотронного вращения по времени, учитывая выражения (6.24) и (6.27), равно

(6.29)

При медленном изменении магнитного поля величину можно вынести за знак дифференцирования:

(6.30)

Перепишем выражение (6.24) в виде

(6.31)

и продифференцируем его по времени:

(6.32)

Если сравнить это выражение сполученным ранее непосредственно из энергетических соображений (6.30), то сразу становится очевидным равенство нулю второго члена

Магнитный поток Ф, пронизывающий циклотронную орбиту, Также остается неизменным в процессе движения

.(6.33)