Прямое и обратное преобразование Гильберта.


 

По ряду причин, часть из которых станет понятной из дальнейшего, в качестве сопряжённого удобно выбрать преобразованный по Гильберту исходный сигнал:

 

(1.4)

 

Комплексный сигнал вида называют аналитическим сигналом.

Преобразование Гильберта H[x(t)] в спектральной области сводиться к сдвигу фаз всех спектральных составляющих сигнала x(t) на угол в области положительных (ω>0) и на в области отрицательных (ω<0) частот.

С точки зрения схемотехники преобразователь Гильберта – это фазовращатель (рисунок 1) с передаточной функцией, которая представлена следующим выражением:

 

(1.5)
 
где знаковая функция.
         

 

 
Рисунок 1.3 – Преобразователь Гильберта

 

Найдём импульсную характеристику преобразователя Гильберта

Первый интеграл в полученном выражении равен 0 в силу интегрирования нечётной функции при симметричных пределах, а второй сводиться к табличному интегралу вида:

 

(1.6)

 

Окончательно получаем:

 

(1.7)

 

Из полученного результата с очевидностью вытекает невозможность физической реализации преобразования Гильберта, так как . Тем не менее, реально преобразования Гильберта осуществляют приближённо, допуская временную задержку, тем большую, чем выше требования к точности преобразования.

Рассмотрим преобразование Гильберта во временной области. Из рисунка 1.3 вытекает:

 

(1.8)
 
где прямое преобразование Гильберта.
         

 

Поскольку

 

(1.9)

 

после умножения обеих частей равенства на jsign(w) получим

 

(1.10)

 

откуда следует, что передаточная функция обратного преобразования Гильберта H-1[x(t)]отличается от передаточной функции прямого только знаком:

 

(1.11)

 

Соответственно:

– обратное преобразование Гильберта.



Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1519;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.