Глава 3. Матрицы и системы уравнений

Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений. Система линейных уравнений:

записывается одним матричным равенством , где столбцевая матрица , столбцевая матрица , а – -матрица .

На языке матриц линейное преобразование означает преобразование столбца в столбец , которое определяется матрицей преобразования .

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными

В матричной форме эта система уравнений запишется как , где – квадратная матрица -го порядка, называемая матрицей системы; и – столбцевые матрицы неизвестных переменных и свободных членов.

Матричное уравнение решается умножением обеих его частей слева на обратную матрицу , т. е. , в результате чего получаем . В соответствии с правилом Крамера неизвестные определяются соотношением:

,

где – определитель системы уравнений и – алгебраические дополнения. Определитель представляет собой числовую функцию, которая вычисляется по определенным правилам на основании квадратной таблицы, состоящей из коэффициентов системы уравнений

.

Табличное представление определителя по форме совпадает с матрицей системы уравнений, т. е. состоит из тех же элементов и в том же порядке, что и матрица . В таких случаях его называют определителям матрицы и записывают .

Общее выражение для определителя матрицы -го порядка записывается в виде:

.

В правой части стоит сумма произведении вида . Каждое такое произведение по определению должно содержать элементы матрицы , расположенные в различных строках и различных столбцах. Это значит, что среди всех первых индексов, как и среди всех вторых индексов не должно быть одинаковых. Если расположить первые индексы в порядке их возрастания, как это сделано выше, то совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку ( ) множества чисел от 1 до . Определитель равен сумме всех таких произведений, взятых со знаком , где – число инверсий перестановки ( ). Как известно, инверсию образуют два числа в перестановке, когда меньшее из них расположено правее большего.

Для вычисления определителей второго и третьего порядка можно записать выражения

и

,

которые совпадают со схемами вычисления этих определителей (рис. 3):

Рис. 3

Как видно, индексы столбцов всех членов определителя третьего порядка определяются перестановками (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), число инверсий которых равно соответственно 0, 2, 2, 3, 1, 1.

Перечисляя основные свойства определителей, прежде всего отметим, что , т. е. определитель матрицы не изменяет своего значения при взаимной замене ее строк и столбцов. Поэтому все свойства определителя, сформулированные ниже для столбцов, справедливы и для строк, и обратно.

1. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак (свойство антисимметрии).

2. Определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь столбца равны нулю или если один из столбцов является линейной комбинацией любых его других столбцов (в частности, определитель, у которого хотя бы два столбца одинаковы, равен нулю).

3. Умножение всех элементов какого-нибудь столбца на скаляр равнозначно умножению определителя на (общий множитель элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя).

4. Умножение матрицы -го порядка на скаляр соответствует умножению ее определителя на , т. е. .

5. Значение определителя не изменится, если к какому-нибудь столбцу прибавить другой столбец, умноженный на скаляр .

6. Если два определителя одинаковых порядков различаются между собой только элементами -го столбца, то их сумма равна определителю, элементы -го столбца которого равны суммам соответствующих элементов -х столбцов исходных определителей, а остальные элементы те же, что у исходных (свойство линейности).

Алгебраическое дополнение вычисляется как определитель матрицы, полученной удалением из матрицы -й строки и -го столбца, причем этот определитель умножается еще на . Величину называют также алгебраическим дополнением элемента матрицы .

Используя введенные понятия определителя и алгебраического дополнения можно установить способ получения обратной матрицы, который не был определен ранее. Записав для всех элементов столбцевой матрицы выражения по правилам Крамера, получим решение системы уравнений в виде:

,

откуда, сравнивая с , можно записать

.

Из полученного выражения следует правило определения обратной матрицы: 1) элементы , данной матрицы -го порядка заменяются их алгебраическими дополнениями ;2) матрица алгебраических дополнений транспонируется, в результате чего получаем присоединенную матрицу к (она обозначается через ); 3) вычисляется определитель матрицы и присоединенная матрица умножается на величину, обратную этому определителю.

Вычисление таким методом обратной матрицы иллюстрируется приведенным ниже примером:

исходная матрица ;	1) матрица алгебраических дополнений	2) присоединенная матрица	3) обратная матрица

Однако такой путь является слишком громоздким, так как он требует вычисления определителя -го порядка и определителей -го порядка. Для решения этой задачи разработано много более практичных алгоритмов, один из которых основан методе исключения.

Метод исключения основан на том, уравнение можно решить относительно преобразованием матрицы к единичной при условии соблюдения равенства его левой и правой частей. Воспользуемся для этого следующей процедурой. Разделим элементы первой строки матрицы на и прибавим к остальным строкам эту строку, умноженную на ( ). В результате получим , а остальные элементы первого столбца обратятся в нуль. Далее вторую строку делим на новое значение и прибавляем к остальным строкам эту строку, умноженную на новые значения ( ). В результате получим , а остальные элементы второго столбца равны нулю. Через таких шагов матрица преобразуется в единичную матрицу. На -м шаге строки матрицы , полученной на предыдущем шаге, преобразуются следующим образом: , что можно представить как умножение слева на некоторую матрицу того же порядка, т. е. . Так как , то сравнивая с приведенными выше соотношениями, находим , а остальные элементы матрицы равны нулю.

Очевидно, произведение таких матриц для и осуществляет преобразование к единичной матрице. Чтобы равенство не нарушилось при умножении на слева, необходимо правую часть также умножить на , т. е. . А это значит, что над строками единичной матрицы в правой части уравнения в процессе его преобразования необходимо выполнить те же операции, что и над строками матрицы . Это удобно реализовать, оперируя над строками расширенной матрицы и выбирая в качестве опорных элементов диагональные элементы матрицы . Проиллюстрируем метод исключения на примере обращения матрицы :

Шаг 1	Шаг 2
Шаг 3	Шаг 4

В итоге получаем обратную матрицу, расположенную в трех последних столбцах. Как побочный результат, имеем также определитель матрицы , равный произведению тех значений опорных элементов, которые они принимают на соответствующих шагах преобразования матрицы (эти элементы выделены круглыми скобками): . Кроме того, одновременно вычисляется и присоединенная матрица

.

Обратная матрица существует для матрицы при условии, что . Такие матрицы называются неособенными, в отличие от особенных (вырожденных), определитель которых равен нулю. Подытожим изложенные ранее свойства обратных матриц и приведем некоторые другие их свойства.

1. Если существуют и , то существует и .

2. .

3. .

4.

5. .

6. Если , матрица называется инволютивной (взаимно обратной).

В общем случае число уравнений может отличаться от числа неизвестных. Такая система

в матричной форме характеризуется прямоугольной матрицей коэффициентов размера и столбцом свободных членов . Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, а если среди них имеется хотя бы один ненулевой член, то система называется неоднородной.

Среди уравнений системы могут быть линейно-зависимые, т. е. такие, которые можно представить как результат сложения других уравнений, умноженных на какие-либо числа (при умножении уравнения на число его левая и правая части умножаются на это число). Ясно, что зависимые уравнения не содержат никакой дополнительной информации, влияющей на значения искомых величин. Исключение зависимых уравнений приводит к эквивалентной системе, решение которой совпадает с решением исходной системы. Число независимых уравнений определяет ранг системы. Соответственно число независимых строк (или столбцов) матрицы называют рангом матрицы.

Система уравнений с неизвестными , матрица которой является неособенной, т. е. , имеет единственное решение и называется определенной системой -го порядка. Ранг неособенной матрицы равен ее порядку ( ). Если среди уравнений имеются зависимые, то – особенная матрица и ее ранг меньше порядка ( ). Разность называют дефектом матрицы, а саму матрицу – -кратно вырожденной. После исключения зависимых уравнений получим эквивалентную систему уравнений с неизвестными.

Система уравнений с неизвестными при может иметь решение, а может и не иметь их вовсе. Если система имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, а систему, для которой решение не существует, называют несовместной. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений согласно теореме Кронекера – Капелли является равенство рангов матрицы и ее расширенной матрицы , где – столбец свободных членов. Совместная система при всегда имеет бесконечное множество решений и называется неопределенной. При система является либо несовместной, либо сводится к эквивалентной ей совместной системе, которая может быть определенной ( ) или неопределенной ( ).

Для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка идея исключения нашла применение в алгоритме Гаусса. Он сводится к последовательному исключению неизвестных, в результате чего данная система уравнений преобразуется к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей, решение которой не составляет труда. Подобно методу исключения при обращении матрицы, это достигается соответствующими операциями над строками расширенной матрицы системы размера . Различие заключается в том, что в нули преобразуются лишь те элементы матрицы , которые расположены ниже ее главной диагонали. В результате приводится к матрице , где – верхняя треугольная матрица с единичными элементами на главной диагонали; – преобразованный столбец свободных членов:

; .

Преобразованная система имеет вид:

,

откуда на основании находятся последовательно по формуле:

.

Итак, алгоритм Гаусса содержит два этапа: 1) построение вспомогательной системы с треугольной матрицей (прямой ход); 2) получение решения системы (обратный ход). Проиллюстрируем его на следующем примере. Пусть задана система уравнений: . Расширенная матрица для этой системы имеет вид: . Прямой ход включает в себя следующие преобразования расширенной матрицы:

Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3

Преобразованная система уравнений имеет вид:

,

откуда находим: .

Если исключение выполнить так же, как при обращении матрицы, которое рассмотрено ранее, то в результате матрица преобразуется в единичную, а – в столбец, элементы которого равны значениям искомых величин , т. е. преобразуется в . Эту разновидность метода исключения называют алгоритмом Гаусса – Жордана. Так, для рассматриваемого примера имеем

Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3

откуда сразу получаем .

Многие задачи механики, электротехники, радиоэлектроники и других отраслей техники связаны с решением системы линейных уравнений, правые части которых принимают различные значения, а матрица системы остается неизменной. Совокупность таких систем можно рассматривать как одно матричное уравнение , где и – матрицы размера , столбцы которых равны соответственно и . Как уже указывалось ранее, решение уравнения можно представить через обратную матрицу . Часто, однако, отдают предпочтение процедурам исключения, которые выполняются над расширенной матрицей . Пусть, например, требуется решить уравнение при заданной матрице и различных векторах в правой части, т. е.

; ; .

Запишем расширенную матрицу

и преобразуем ее в соответствии с алгоритмом Гаусса – Жордана:

Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3

Отсюда имеем:

; ; .

В общем случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных , также применима процедура исключения, причем в процессе ее реализации выявляется и характер системы. Пусть, например, дана система уравнений:

.

Запишем расширенную матрицу

и преобразуем ее в соответствии с алгоритмом Гаусса – Жордана:

Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3

Последняя нулевая строка соответствует тождеству , что свидетельствует о зависимости исходных уравнений. Так как независимых уравнений три, то и ранг системы . Таким образом, получаем эквивалентную систему уравнений: , решение которой: , где и могут принимать произвольные значения. Рассмотренная система является совместной и неопределенной, так как имеет бесконечное множество решений.

При любом числе уравнений ранг системы не может превышать число неизвестных ( ). Если , то не менее ( ) уравнений совместной системы зависимы и превращаются в тождества в процессе исключения. Совместная система уравнений ранга имеет зависимых уравнений. При она определенная, а при неопределенная.

Система, все свободные члены которой равны нулю ( ), называется однородной. Она всегда совместна, гак как нулевой столбец не влияет на ранг расширенной матрицы . Однородная система уравнений с неизвестными имеет тривиальное решение , которое и единственно, если ранг матрицы равен ее порядку ( ). При однородная система имеет бесконечное множество решений и сводится к неопределенной системе уравнений с неизвестными. Это, в частности, означает, что система уравнений с неизвестными имеет нетривиальные решения при условии, что матрица системы особенна, т. е. .

В общем случае решение однородной системы ранга с неизвестными

,

где – элементы матрицы, преобразованной по алгоритму Гаусса – Жордана (предполагается, что основным неизвестным соответствуют первые столбцов).

Рассмотрим однородную систему уравнений с неизвестными или , матрица которой просто вырождена, т. е. ее ранг . Разлагая определитель этой матрицы по элементам какой-либо строки, запишем: .

Так как , то сравнивая записанные соотношения при любом , находим , где – произвольное число, не равное нулю. Таким образом, неизвестные пропорциональны соответствующим алгебраическим дополнениям элементов какой-либо строки матрицы , т. е. вектор решений можно представить в виде:

.

Решим систему уравнений

.

Матрица этой системы просто вырождена, так как ее ранг равен двум, следовательно, достаточно вычислить алгебраические дополнения элементов какой-либо строки, например, первой:

.

Отсюда запишем решение рассматриваемой системы уравнений: ; ; или , причем это решение удовлетворяет данной системе при любом значении числа .