Запасы устойчивости
Рис. 3.9. К определению запасов устойчивости по фазе Δφ и по усилению |
Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза ωс и критической частоте ωкр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы |W(jω)| равна единице, а на критической частоте фазо-частотная характеристика этой системы φ(ω) принимает значение, равное -π.
Запас устойчивости по фазе Δφ показывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте среза ωс отличается от -π (рис. 3.9):
Δφ = π – .
Величина запаса устойчивости по усилению может быть определена на частоте ωкр, как разность:
= 1 – |W(jωкр)|,
либо как отношение
α = 1/ |W(jωкр)|.
а) |
Рис. 3.10. Годографы W(jω) абсолютно устойчивой (а) и условно устойчивой (б) САУ |
б) |
Во втором случае величиназапаса устойчивости по усилению определяет, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.
Системы, годографы W(jω) которых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0)(рис. 3.10, а), называют абсолютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.
Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкнутой системы пересекает вещественную ось и слева от точки с координатами (-1, j0), то систему называют условно устойчивой (рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.
Для нормальной работы САУ необходимо, чтобы запас устойчивости по усилению α был не менее двух, а запас устойчивости по фазе – от 0,5 до 1 рад.
3.5. Оценка устойчивости по логарифмическим
амплитудно- и фазо-частотным
характеристикам
Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амплитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с координатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
ωс < ωкр.
а) |
Рис. 3.11. Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики устойчивой разомкнутой системы: а - устойчивой при замыкании; б - неустойчивой при замыкании |
б) |
На рис. 3.11 приведены ЛАХ и ФЧХ устойчивых разомкнутых системы, одна из которых при замыкании остается устойчивой (рис. 3.11, а), а другая – становится неустойчивой (рис. 3.11, б).
По L(ω) и φ(ω) разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте среза ωс, а запас устойчивости по усилению ΔL равен значению ЛАХ на критической частоте ωкр, взятому с обратным знаком, т.е. ΔL = |L(ωкр)| (см. рис. 3.11, а).
Если ωс = ωкр, то система находится на границе устойчивости.
Если при некотором значении коэффициента усиления (k) замкнутая система устойчива с запасом устойчивости по усилению равным ΔL, то величина критического коэффициента усиления kкр может быть вычислена по формуле:
20lg kкр = 20lg k + ΔL.
Для оценки устойчивости условно устойчивых САУ реальных технических систем, имеющих обычно достаточно сложную форму, также можно воспользоваться понятием перехода. При этом переходом называется пересечение графика φ(ω) с горизонтальной прямой -π, при условии, что на частоте, при которой φ(ω) = – π, ЛАХ положительна.
Правило определения знака перехода противоположно рассмотренному для W(jω): переход графика φ(ω) через уровень(- π) считается положительным, если при увеличении частоты ω пересечение этого уровня происходит снизувверх, в противном случае переход считается отрицательным. Обозначим число положительных переходов m+ , а число отрицательных переходов m- .
В этом случае формулировка критерия устойчивости Найквиста: система в замкнутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.
m+ – m- = m/2, (3.23)
где m – число правых полюсов разомкнутой системы.
Если число положительных переходов φ(ω) равно числу отрицательных, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии , остается устойчивой при замыкании. На рис. 3.12 в качестве примера приведены логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики неустойчивой разомкнутой системы, имеющей два правых полюса . При замыкании такая система становится устойчивой, так как m+ = 1, а m- = 0, и условие (3.23) выполняется.
Рис. 3.12. К оценке устойчивости САУ по L(ω) и φ(ω) с использованием понятия перехода |
Рекомендации для обеспечения запаса устойчивости, которые следуют из практики проектирования САУ:
· во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равен -20 дБ/дек. Если в указанном частотном диапазоне наклон L(ω) равен -40 дБ/дек, обеспечить необходимый запас устойчивости по фазе затруднительно. При наклоне 0 дБ/дек система обладает чрезмерно большим запасом устойчивости по фазе и становится передемпфированной с длительным переходным процессом:
· во-вторых, запас устойчивости системы по фазе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы в области частоты среза имеет наклон -20 дБ/дек. Чем шире этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.
Дата добавления: 2021-10-28; просмотров: 322;