Движения плоскости, их свойства
Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (перемещением) плоскости.
Примеры движений
1. Тождественное преобразование.
2. Параллельный перенос.
Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка такая, что .
a) Отметим, что параллельный перенос определяется как отображение и, следовательно нужно доказать, что он является преобразованием плоскости, то есть проверить биективность отображения. Сделайте это самостоятельно.
b) Имеем . Тогда и , то есть параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением плоскости.
3. Центральная симметрия.
Центральной симметрией относительно точки называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка такая, что .
a) Аналогично нужно показать, что центральная симметрия является преобразованием плоскости.
b) Из условий и получаем, что . Тогда , то есть центральная симметрия сохраняет расстояния, а значит, является движением плоскости.
Самостоятельно следует рассмотреть доказательство следующих важных теорем
Т е о р е м а 1. При движении образом репера является репер. Образом оротнормированного репера является ортонормированный репер.
Т е о р е м а 2. (о задании движения парой соответствующих ортонормированных реперов) Пусть и два ортонормированных репера. Существует единственное движение плоскости, которое репер переводит в репер . При этом движении каждая точка с координатами в репере переходит в точку с теми же координатами в репере .
Теоремы 1-2 позволяют доказать следующие свойства движений:
1. Движение переводит прямую в прямую, праллельные прямые в параллельные прямые.
2. Движение переводит полуплоскость в полуплоскость.
3. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой, а значит, сохраняет отношение «лежать между», поэтому переводит отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол.
4. Движение переводит угол в равный угол, перпендикулярные прямые в перпендикулярные прямые.
5. Любое движение либо сохраняет ориентацию плоскости (любой репер переводит в одинаково ориентированный с ним репер), либо меняет ориентацию плоскости (любой репер переводит в противоположно ориентированный с ним репер).
Отсюда имеем два вида движений: движения I рода (сохраняющие ориентацию плоскости) и движения II рода (меняющие ориентацию плоскости).
Формулы движений
Пусть – движение плоскости. Задав на плоскости прямоугольную систему координат , сможем найти формулы движения – это формулы, выражающие координаты точки через координаты точки – прообраза точки .
Пусть при движении ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер . Тогда по теореме 2 о задании движения парой ортонормированных реперов следует, что имеет координаты в репере .
Рассматривая и как старую и новую системы координат, получаем, что точка имеет соответственно старые координаты относительно репера и новые координаты относительно репера . Используя формулы преобразования координат при переходе от одной системы координат к другой, получим
(*),
где , если и одинаково ориентированы, то есть – движение первого рода, и , если и противоположно ориентированы, то есть – движение второго рода.
Формулы (*) это и есть формулы движения. Можно заметить, что матрица, составленная из коэффициентов при и в этих формулах, является ортогональной (сумма квадратов элементов одного и того же столбца равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна 0); определитель этой матрицы равен 1 в случае движения первого рода и равен -1 в случае движения второго рода.
Имеет место следующая теорема
Т е о р е м а 3. (об аналитическом задании движения) Пусть – ортонормированный репер. Формулы
(**),
где – ортогональная матрица, определяют движение первого рода, если определитель этой матрицы равен 1 и второго рода, если определитель этой матрицы равен -1.
При доказательстве этой теоремы следует обосновать три момента:
1. Формулы действительно задают преобразование плоскости (проверить биективность).
2. Преобразование сохраняет расстояния (вычисляя расстояние между точками и , использовать формулы (**) и условие ортогональности матрицы, составленной из коэффициентов, показать, что ).
3. Показать, что реперы и одинаково ориентированы, то есть является движением первого рода, если и противоположно ориентированы, то есть – движение второго рода, если . Для этого, используя формулы (**) нужно найти координаты точек образов точек , определяющих репер . Далее найти координаты векторов и и убедиться, что матрица перехода от базиса к базису имеет вид . Знак определителя этой матрицы характеризует одинаковость ориентации этих базисов, а значит и реперов и .
Примеры движений
У п р а ж н е н и е 1. Найти формулы параллельного переноса. Доказать, что праллельный перенос является движением первого рода. Определить неподвижные точки и неподвижные прямые при параллельном переносе. Доказать, что множество всех праллельных перносов является группой.
У п р а ж н е н и е 2. Поворотом плоскости вокруг точки на угол называется отображение плоскости в себя, при котором точка переходит сама в себя, любая другая точка плоскости переходит в точку такую, что расстояния и равны и угол равен .
Задав на плоскости прямоугольную систему координат , выразите косинус и синус угла через косинусы и синусы углов и , образованных векторами и с вектором . Далее выразите косинусы и синусы углов и через координаты точек и . Убедитесь, что
, , где .
Решая систему относительно и , получим формулы поворота вокруг начала координат: .
Убедитесь, что поворот вокруг точки является движением первого рода. Определите неподвижные точки при повороте. Выясните, что представляет собой поворот на угол . Докажите, что множество всех поворотов с общим центром является группой. Найдите формулы поворота вокруг точки .
У п р а ж н е н и е 3. Осевой симметрией с осью называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой .
Напомним, что каждая точка прямой симметрична сама себе. Точка, не лежащая на прямой , и симметричная ей точка определяют отрезок, перпендикулярный прмой , середина которого лежит на прямой .
Найдите формулы симметрии относительно оси , убедитесь, что осевая симметрия является примером движения второго рода. Найдите неподвижные точки, неподвижные прямые при осевой симметрии. Выясните, что представляет собой композиция двух осевых симметрий с параллельными осями, с пересекающимися осями.
У п р а ж н е н и е 4. Скользящей симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии: .
Покажите, что скользящая симметрия является движением второго рода, отличным от осевой симметрии.
Определите неподвижные точки и неподвижные прямые при скользящей симметрии.
Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 475;