Плоское напряженное состояние (ПНС)

Оно характеризуется тремя компонентами напряжений: . ПНС часто встречается в курсе сопромата. Например, изгиб – это частный случай ПНС.

Исследуем ПНС. Из элемента под углом вырежем призму (рисунок 2). Проецируя все силы на оси и , получим напряжения на наклонных площадках:

Рисунок 2.

; (1)

.

Можно показать, что

Следовательно, если на одной из площадок то на перпендикулярной площадке Экстремальные нормальные нагружения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют главными площадками.

Для определения положения главных площадок полагаем

.

Отсюда находим положение главных площадок

(2)

Подставляя во второе уравнение системы (1), получаем , то есть на главных площадках касательных напряжения равны нулю. Подставляя в первое уравнение (1), находим главные напряжения:

. (3)

Найдем положения площадок, где касательные напряжения экстремальны. Эти площадки называются площадками сдвига:

.

Отсюда находим

. (4)

Из (2) и (4) заключаем, что площадки сдвига наклонены к главным под углами . Подставляя во второе уравнение системы (1) угол , получаем экстремальные касательные напряжения

. (5)