Вращающейся относительно неподвижной оси

НМС массы М, имеющая две закрепленные точки О и В, вращается под действием внешних сил вокруг неподвижной оси, проходящей через этиточки (рис. 39).

Рис. 39

Примем точку О за начало неизменно связанной с НМС декартовой системы координат Оxyz, направив ось Oz вдоль оси вращения НМС в сторону точки В. Расстояние между подпятником О и подшипником В обозначим через h. Освободив НМС от связей в точках О и В, приложим к НМС силы реакций связей и , проекции которых на оси координат обозначим соответственно и . Эти силы также являются внешними силами для НМС.

Для определения пяти реакций связи воспользуемся принципом Даламбера. Предварительно найдем разложения главного вектора и главного момента всех сил инерции вдоль осей декартовой системы координат, использовав первое уравнение соотношений (5.6) и соотношение (5.4).

Запишем полученную в кинематике формулу (Ч.1 Кинематика) для ускорения центра масс НМС, вращающейся относительно неподвижной оси:

,

где – радиус-вектор центра масс НМС, и – соответствен-но угловая скорость и ускорение НМС, направленные по оси вращения.

Векторное произведение двух векторов выражается определителем, в первой строке которого расположены единичные вектора , направленные вдоль осей координат, а в двух других строках - проекции на оси координат векторов сомножителей. Представив векторное произведение в виде определителя и учтя при этом, что и , разложим его по элементам первой строки:

(5.8)

здесь – координаты центра масс НМС.

Используя соотношение (5.8) и учтя, что , ускорение центра масс можно представить в виде суммы двух определителей:

.

Разложив это соотношение по единичным ортам декартовой системы координат, получим:

. (5.9)

С учетом соотношения (5.9) главный вектор сил инерции (5.6) примет вид:

. (5.10)

Найдем выражение для главного момента сил инерции. По аналогии с соотношением (5.9) для ускорения n-й точки НМС можно записать:

. (5.11)

Тогда соотношение (5.4) может быть представлено с учетом выражения (5.11) в виде определителя:

,

вычисляя который, имеем:

С учетом соотношений для центробежных моментов и момента инерции относительно оси:

,

выражение для главного момента сил инерции примет вид:

(5.12)

Главный вектор и главный момент внешних сил имеют вид:

, . (5.13)

Подставляя соотношения (5.10), (5.12) и (5.13) в уравнения (5.3) и (5.5) и проектируя затем полученные соотношения на оси декартовой системы координат, будем иметь систему уравнений для определения динамических реакций , :

Первые пять уравнений соотношений (5.14) позволяют определить полные динамические реакции , , шестое уравнение является уравнением вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси.

Полные динамические реакции складываются из статических и дополнительных динамических реакций:

, (5.15)

.

Статические реакции , возникают только вследствие действия задаваемых внешних сил и могут быть определены в предположении, что НМС находится в покое. Полагая в (5.14) и , получим:

(5.16)

Дополнительные динамические реакции являются следствием вращательного движения НМС вокруг оси Оz. Подставив соотношение (5.15) в выражение (5.14) и учитывая соотношения (5.16), будем иметь:

(5.17)

Найдем условия отсутствия дополнительных динамических реакций, для чего в соотношениях (5.17) положим их равными нулю ( ) в любом случае вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси):

(5.18) (5.19)

Системы уравнений (5.18) и (5.19) являются системами двух однородных уравнений с двумя неизвестными соответственно х_С, у_С и J_xz и J_yz. Так как главные определители систем не равны нулю:

,

то эти системы удовлетворяют только следующие значения неизвестных:

х_С = 0, у_С = 0, (5.20)

J_xz = 0, J_yz = 0. (5.21)

Равенства (5.20) показывают, что ось вращения z должна проходить через центр масс C НМС, а равенства (5.21) показывают, что ось вращения z должна совпадать с одной из главных осей инерции НМС в точке О, т. е. ось вращения z будет являться одной из главных, центральных осей инерции НМС.

Таким образом, если ось вращения является одной из главных, центральных осей инерции НМС, то дополнительные динамические реакции отсутствуют, т. е. полные динамические реакции не отличаются от статических, возникающих под действием только задаваемых сил. В этом случае говорят, что вращающаяся НМС динамически уравновешена на оси вращения, а ось вращения называется свободной осью.

Задача динамического уравновешивания вращающейся НМС играет очень большую роль в технике, особенно в случае больших угловых скоростей и ускорений. Небольшое отклонение в установке оси вращения (нарушение условий (5.20) и (5.21)) при больших угловых скоростях и ускорениях вызывает резкое увеличение дополнительных динамических реакций, что может привести к разрушениям.