Метод электрогидродинамических аналогий (метод ЭГДА)

Метод ЭГДА успешно применяют для изучения стационарных физических процессов, которые описываются уравнениями эллиптического вида.

В этом случае метод ЭГДА применяется в горном деле и гидротехнике для решения задач фильтрации жидкости; в электротехнике – для решения задач электропередачи; в строительной механике – при решении задач теории упругости; в теплотехнике – для решения задач теплообмена, а также для решения задач диффузии газа и жидкости, распространения магнитных, электрических и взрывных волн и др.

В ряде случаев, используя метод суперпозиций, метод ЭГДА может быть применен и для решения нестационарных физических процессов, которые описываются уравнениями параболического типа, например, задачи замораживания горных пород и фильтрации жидкости и газа в пористых средах, физические процессы которых протекают весьма медленно во времени. В этом случае изучение процесса в заданный период времени разбивается на сравнительно короткие промежутки времени, в течение которого физический процесс может рассматриваться как стационарный с соответствующим заданием граничных условий.

Метод ЭГДА основан на математической аналогии между некоторыми физическими процессами: например, между стационарным движением электрического тока в проводящей среде или стационарным распространением тепла в твердых телах, диффузией газа и жидкости и т.д.

Рассмотрим аналогию указанных выше процессов на примере аналогии

между стационарным движением электрического тока в проводящей среде и стационарным движением жидкости в пористых средах. Для упрощения процесса рассмотрим для плоскости (двухмерная задача). В этом случае процессы описываются следующими уравнениями

; (6.55)

уравнение неразрывности

. (6.56)

Для фильтрующих пород:

уравнение движения

(6.57)

уравнение неразрывности

(6.58)

где – электрический потенциал;

– электропроводность материала;

– пьезометрический напор;

– коэффициент фильтрации;

– компоненты плотности тока;

– компоненты скорости потока;

– координаты поверхности.

Если среды однородные, то коэффициенты электропроводности и фильтрации будут постоянными. В этом случае вместо уравнений (6.55), (6.57) получим уравнения Лапласа:

Исходя из этих уравнений, устанавливают аналогию между процессами и отдельными параметрами (табл.6.2).

Таблица 6.2

Электрическое поле тока	Поле фильтрации жидкости	Магнитное поле	Поле температур
Закон Ома: ; , где – плотность тока; – электропроводность; – электрический потенциал; – сила тока.	Закон Дарси: ; , где – скорость фильтрации; – коэффициент фильтрации; – пьезометрический напор; – фильтрационный расход.	Закон магнитной индукции: где – магнитная индукция; –магнитная проницаемость; – магнитный потенциал; – магнитный поток.	Закон Фурье: , где – тепловой поток; – коэффициент теплопроводности; – температура; – тепловой поток.

Таким образом, исследование вопросов фильтрации в натуре сводят к изучению соответствующих (аналогичных) электрических процессов и параметров на электрических моделях, и результаты этих исследований распространяют на процессы фильтрации.

При осушении месторождений полезных ископаемых в результате работы водопонизительных скважин образуется депрессионная поверхность, на основании которой ведутся все гидрогеологические расчеты (дебит скважин и установки в целом, расположение скважин в плане, приток воды в горные выработки, закладка фильтров и т.д.). Для получения на электрической модели процессов аналогичных процессам фильтрации жидкости в натуре, необходимо выполнить ряд условий, вытекающих из общей теории подобия.

1. Электрическая модель должна представлять изучаемую область фильтрации жидкости в натуре в некотором масштабе без всякого искажения, т.е. должно быть соблюдено геометрическое подобие.

2. Коэффициент электропроводности модели должен быть прямо пропорционален в сходственных точках коэффициенту фильтрации жидкости, т.е. между моделью и натурой должно быть соблюдено физическое подобие

. (6.59)

3. Также должны быть подобны граничные условия модели и натуры, т.е. должно быть соблюдено динамическое подобие

. (6.60)

Подставив значения параметров фильтрации из выражений (6.59) и (6.60) в выражение (6.57), после преобразований получают

(6.61)

Следовательно, уравнения (6.55) и (6.61) будут аналогичными в том случае, если произведение коэффициентов в квадратных скобках будет постоянно:

. (6.62)

Для однородной среды при и условия физического подобия выполняются автоматически, т.е. имеет место автомодельность. Поэтому при моделировании физических процессов необходимо соблюдать только геометрическое и динамическое подобие.

Исследование процесса осушения водоносных пород в конечном счете сводится к определению напоров воды на различных участках изучаемого пространства. Следовательно, на электрической модели необходимо построить поле потенциала, которое было бы аналогичным депрессионной поверхности воды в натуре. Пересчет электрического потенциала на напоры воды производится на основании граничных условий моделирования, которые могут быть записаны следующим образом:

, (6.63)

где и – постоянные коэффициенты.

При этом:

при должно быть ;

при должно быть .

В этом случае будем иметь:

(6.64)

. (6.65)

Значения максимальных и минимальных напоров воды обычно известны. Максимальный напор воды имеет место на границе области питания и определяется гидрогеологическими разведочными скважинами. Контур питания определяется гидрогеологическими расчетами или непосредственными наблюдениями в скважинах при опытных откачках. Минимальный напор воды задают из условий работы водопонизительных скважин. На электрической модели в соответствии с заданием максимального и минимального напоров воды задают максимальные и минимальные напряжения и . Обычно на модели эквипотенциальные поля строятся в относительных величинах. При этом берется за 1, а 0. Подставив значения = 1 и = 0 в выражения (6.64) и (6.65), получим:

(6.66)

Следовательно, значение потенциала в любой точке поля будет определяться формулой

. (6.67)

Зная значения и и значение потенциала на модели (определяется прибором), получим для напорной фильтрации значение напора в любой точке изучаемой области натуры:

. (6.68)

В случае безнапорной фильтрации пересчет от потенциалов к напорам производится по формуле

. (6.69)

При напорно-безнапорной фильтрации каждая из вышеприведенных формул (6.68) и (6.69) применяется в соответствующей области. Граница между ними определяется из условия

, (6.70)

где – мощность водоносного пласта.

Принцип действия установки ЭГДА основан на использовании для производства экспериментов мостового (компенсационного) метода измерений электрического потенциала в поле модели. Принципиальная электрическая схема установки ЭГДА (рис.6.4) состоит из блока питания и блока измерения.

В блок питания входят: понизительный трансформатор 1, выпрямитель 2 и измерительные приборы – вольтметр 3 и миллиамперметр 4. В блок измерений входит: градуированный потенциометр 5, нуль-индикатор (гальванометр) 6 и поисковая игла 7.

Если поисковой иглой подключиться к модели в какой-то точке , то будут иметь место отмеченные на схеме токи и потенциал . Если же градуированное сопротивление потенциометра 5 отрегулировать так, чтобы потенциал в точке был равен потенциалу в точке , то мост будет уравновешен, в чем убеждаются по отсутствию отклонения стрелки гальванометра: так как , то .

При уравновешенном мосте в силу разности потенциалов в точках а и б ток пойдет частично через модель, а частично через градуированный потенциометр и тогда:

.

Если , то .

Разделив их, получим

, (6.71)

а так как (в сети гальванометра), то и .

Отсюда получаем уравнение равновесия моста

или (6.72)

Принимая сопротивление модели за усредненно-линейное, получаем значение потенциала на всей линии . Это и есть линия равного потенциала . Но так как , то по шкале градуированного потенциометра в момент равновесия мостовой схемы получим значение потенциала в той точке, где установлена поисковая игла.

Из теории моста следует, что

. (6.73)

Отсюда ясно, что результаты измерений потенциалов на моделях не зависят от величины напряжения, приложенного на шинах модели, т.е. при изменении напряжения (при колебании напряжения в питательной сети) одновременно и пропорционально изменяется падение напряжения . Поэтому разность потенциалов может быть условно принята равной единице, а различные эквипотенциальные линии на модели будут лежать в пределах от нуля до единицы.

Зная значения отдельных эквипотенциалей [или в пересчете по формулам (352), (353) напоров] и кратчайшие расстояния между ними, можно определить величину градиентов, а также плотность тока или скорости фильтрации.

Таким образом, метод ЭГДА дает возможность заменить исследования фильтрационного потока в натуре исследованием электрического поля на модели и результаты исследования перенести в натуру.