Метод контурных токов

Определение: метод контурных токов сводится к составлению и решению системы уравнений, получаемый только по второму закону Кирхгофа применительно к понятиям контурных токов, сопротивлений и ЭДС.

В качестве промежуточных переменных выбирают токи, замыкающиеся в каждом контуре и называемые контурными.

В этом случае число уравнений уменьшается до числа независимых контуров.

Метод будет эффективен при n<(у – 1).

Контурный ток равен току в ветви, по которой он протекает индивидуально, т. е.

I_I = I₁; I_II = I₂,

а ток I₃ в ветви R₃ с учетом обозначенных стрелками направлений равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих через R₃ , т. е.

I₃ = I_I – I_II.

В каждый сомножитель – сумма (R₁+R₂) и (R₂+R₃) – представляет собой сумму всех сопротивлений в каждом неизвестном контуре; они обозначаются сопротивлениями R c двойным индексом соответственно номеру того контура, к которому относятся (R₁₁, R₂₂) и называются собственными сопротивлениями контуров:

R₁₁ = R₁+ R₃ ; R₂₂= R₂+ R₃

Аналогично сомножитель (–R₃) представляет собой сопротивление, входящее одновременно в каждый из двух смежных контуров; оно обозначается тоже сопротивлением R c двумя индексами соответственно номерам смежных контуров

R₁₂ = R₂₁ = - R₃

и называется взаимным сопротивлением контуров 1 и 2 (или 2 и 1); взаимные сопротивления являются положительными, если протекающие через них контурные токи имеют одинаковые направления, и отрицательными, если направления этих токов противоположны.

Алгебраическая сумма всех ЭДС в каждом независимом контуре получила название контурной ЭДС; им отвечают правые части каждого уравнения. Контурная ЭДС обозначается буквой Е с римским индексом (номер контура). Следовательно, контурные ЭДС равны:

Е_I = Е₁ - Е₃ ; Е_II = Е₃ – Е₂

При определении контурных ЭДС знаки слагаемых правых частей. определяются направлением контурных токов: если ЭДС ветви совпадает с направлением контурного тока, то она входит в алгебраическую сумму со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

С учетом понятий о контурных токах, сопротивлениях, ЭДС и их обозначений система принимает вид:

Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи I_I и I_II и токи в ветвях I₁, I₂, I₃, пользуясь и если в ветви проходит только один контурный ток, то истинный ток в ветви равен этому контурному току, а токи в ветвях, по которым проходит несколько контурных токов, равны их алгебраической сумме. Отрицательный знак контурного тока, полученный при решении означает, что его действительное направление противоположно первоначально принятому.

При расчете электрических цепей методом контурных токов целесообразно придерживаться следующего порядка:

- выбрать независимые контуры цепи и указать положительные направления контурных токов I_k ;

- вычислить собственные R_kk и взаимные R_ik сопротивления контуров, а также контурные ЭДС E_k ;

- составить схему уравнений контурных токов по второму закону Кирхгофа;

- решить полученную систему уравнений, определив контурные токи Ik;

- определить токи I₁, I₂, … в ветвях.