Потенциал электростатического поля.

Говорят, что электростатическое поле "потенциально" .При этом имеют в виду следующее.

1. Циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по произвольному пространственному замкнутому контуру равна нулю:

Это утверждение можно доказать, если считать что закон Кулона справедлив и справедлив принцип суперпозиции для векторного поля напряжённости .

Поле точечного заряда, расположенного в начале координат, контур - произвольная пространственная замкнутая кривая

,

Полученное выражение зависит только от расстояния от начала координат до точки наблюдения и не зависит от ориентации векторных величин. При полном обходе замкнутого контура, естественно, получим нуль. Поскольку произвольное электростатическое поле является суммой полей от отдельных электрических зарядов (принцип суперпозиции), утверждение о равенстве нулю циркуляции вектора напряжённости по замкнутому контуру справедливо для общего случая.

2. Условие полного дифференциала.

.

Надо проверить, что для поля напряжённости , созданного неподвижным точечным зарядом q это действительно так и применить принцип суперпозиции для поля, созданного системой неподвижных электрических зарядов.

Условие потенциальности электростатического поля в символической форме записи (локальное условие).

Для поля точечного заряда (непосредственное вычисление)

3. Теорема Стокса. В курсе высшей математики известно соотношение

Поскольку ротор вектора напряжённости электростатического поля оказался равным нулю, интеграл по поверхности S равен нулю, значит и циркуляция вектора напряжённости по замкнутому контуру, на который опирается поверхность S, равна нулю.

Из курса механики известно понятие "градиент скалярного поля": сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому со знаком "минус".

Легко проверить прямым вычислением справедливость тождества:

Но отсюда следует, что вектор напряжённости электростатического поля с точностью до постоянного сомножителя должен быть равен градиенту некоторого скалярного поля.

Пусть:

где - потенциал электростатического поля.

Важно: задано скалярное поле потенциала => векторное поле напряжённости можно вычислить!

А наоборот? Задано векторное поле напряжённости =>

(последовательный переход от точки пространства к соседней точке с малым шагом)

Nota Bene! Обычно в курсах общей физики циркуляцию вектора по замкнутому контуру рассматривают как работу по перемещению по контуру единичного электрического заряда (с бесконечно малой скоростью). Понятие циркуляции (определение) - контурный криволинейный интеграл при фиксированном моменте наблюдения. Это может оказаться важным в нестационарных условиях.

Потенциал точечного электрического заряда (неподвижного!) Координаты заряда => :

Проверим, соответствует это выражение закону Кулона?

полное соответствие с законом Кулона.