ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА

Всякая электрическая цепь состоит из источника электрической энергии (генератора), замкнутого проводящего контура (соединительных проводов) и потребителя (нагрузки).

Источники электрической энергии делятся на источники заданной ЭДС (напряжения) и источники заданного тока [1]. У идеального источника заданной ЭДС (рис.1.1,а) полагаем, что напряжение на его клеммах не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление равно нулю), а у идеального источника заданного тока (рис.1.1,б) полагаем, что его ток не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление стремится к ∞).

Омическое сопротивление R участка цепи (нагрузка) (рис.1.1,в) может быть определено по формуле

,

где ρ – удельное сопротивление проводника; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Для расчета процессов в электрической цепи ее изображают в виде схемы.

Схемой электрической цепи называется её графическое изображение, показывающее последовательность соединения участков и отображающее свойства рассматриваемой цепи.

В электрической цепи (схеме) различают узлы, ветви и контуры.

Узел – точка цепи (схемы), где сходятся не менее 3 ветвей. Ветвь – участок цепи (схемы), соединяющий два узла. Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи (схемы).

Любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником.

Расчёт электрических цепей базируется на законе Ома и двух законах (правилах) Кирхгофа.

Закон Ома для участка цепи – ток I_k k-того участка прямо пропорционален напряжению U_k на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению R_k этого участка:

Типичная ошибка при применении закона Ома заключается в том, что при определении тока берется напряжение на одном участке и делится на сопротивление другого участка, что не соответствует этому закону.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и вытекает из принципа непрерывности электрического тока: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю или сумма токов, подтекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из узла.

«Алгебраическая сумма» означает, что втекающие в узел и вытекающие из него токи берутся с противоположными знаками.

Перед составлением уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо произвольно задаться условными положительными направлениями токов в ветвях. Пример приведён на рис.1.2.

или

Если в результате расчета для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, то это означает, что действительное направление данного тока противоположно выбранному.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Электрический ток, протекая по сопротивлению, создаёт на нём падение напряжения, совпадающее по направлению с током, поэтому, выбрав направление тока в ветви, мы задаём и направление падения напряжения.

Перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо произвольно задаться направлениями обхода контуров. Соответственно, те падения напряжения и ЭДС, которые совпадают по направлению с направлением обхода контура, берутся со знаком «+», в противном случае – со знаком «–».

Рассмотрим пример (рис.1.3).

	Р и с. 1.3

Для трёх указанных контуров схемы уравнения по второму закону Кирхгофа будут следующие:

Необходимо отметить, что ток в ветви можно определить двумя путями:

- по закону Ома для участка цепи – когда известны напряжение и сопротивление данного участка;

- по первому закону Кирхгофа – когда в узле известны все токи, кроме искомого.

- В свою очередь напряжение между двумя точками цепи можно определить следующим образом:

- по закону Ома для участка цепи ;

- по второму закону Кирхгофа, причём контур может быть замкнут искомым напряжением;

- как разность потенциалов на концах рассматриваемого участка цепи.

1.2. Последовательное соединение сопротивлений

Пусть даны два сопротивления R₁ и R₂, которые необходимо подключить к зажимам источника.

Один зажим сопротивления R₁ подключаем к клемме (+) источника, а другой – к клемме сопротивления R₂; свободную клемму R₂ подключаем к клемме (–) источника. Получим замкнутый проводящий контур, состоящий из одной ветви, включающей в себя источник с напряжением U и два сопротивления R₁ и R₂ (рис.1.4).

Аналогично можно включить и большее число сопротивлений. Через любое сечение проводника проходит одинаковое число электрических зарядов. Это следует из закона сохранения заряда. Следовательно, по всем сопротивлениям протекает один и тот же ток. Такое соединение называется последовательным.

Итак, признаком последовательного соединения является то, что по элементам протекает один и тот же ток, т.е. элементы включены в одну общую ветвь.

Для цепи (рис.1.4) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

(1.1)

Таким образом, напряжение на входе цепи U можно выразить через ток I в цепи и эквивалентное сопротивление цепи R_Э.

Эквивалентным (входным) сопротивлением цепи называется такое одно сопротивление, при подключении которого (вместо всех сопротивлений цепи) к зажимам источника режим его работы не изменится, т.е. не изменятся ток I и напряжение U источника.

Эквивалентное сопротивление находится путём последовательного преобразования цепи от конца, противоположного источнику, к зажимам источника.

Конечная схема этих преобразований всегда одна (рис.1.5).

Итак, для цепи (см. рис.1.4) получаем

(1.2)

Из (1.2) следует:

- при последовательном соединении сопротивления складываются;*

- последовательные соединения удобнее рассчитывать через сопротивления.

Обратите внимание, что последовательное подключение сопротивления увеличивает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. уменьшает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.

1.3. Параллельное соединение сопротивлений

Те же два сопротивления R₁ и R₂ можно подключить к источнику и по-другому: R₁ подключим к зажимам «+» и «–» и аналогично подключим R₂. Получим схему, содержащую три ветви и два узла (рис.1.6).

Такое соединение называется параллельным. Из полученной схемы соединений видно, что признаком параллельного соединения является то, что сопротивления находятся под одним и тем же напряжением, т.е. подключены к двум общих узлам (а и b).

Для цепи (см. рис.1.6) по первому закону Кирхгофа имеем

(1.3)

По закону Ома токи в ветвях схемы

Подставляя в (1.3), получаем

. (1.4)

Поделив левую и правую части уравнения (1.4) на общую величину U, получим

.

Обозначим . Величина G, обратная сопротивлению, называется проводимостью. Размерность [G] = Ом^-1 = См.

Получаем выражение для эквивалентной проводимости

. (1.5)

Из (1.5) следует:

- при параллельном соединении элементов проводимости складываются;*

- параллельные соединения удобнее рассчитывать через проводимости.

Для частного случая, когда параллельно соединены два сопротивления R₁ и R₂, эквивалентное сопротивление будет

Обратите внимание, что параллельное подключение сопротивления уменьшает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. увеличивает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.

1.4. Смешанное соединение сопротивлений

Если электрическая цепь содержит три и более сопротивлений, то наряду с последовательным и параллельным соединениями возможно смешанное соединение.

Смешанным соединением называют сочетание последовательного и параллельного соединений (рис.1.7).

Схему смешанного соединения можно «свернуть», т.е. найти эквивалентное сопротивление R_Э.

На схеме (см. рис.1.7) сопротивления R₂ и R₃ включены параллельно. Заменим их одним сопротивлением R₄ :

Получим новую схему (рис.1.8), эквивалентную заданной:

В полученной схеме сопротивления R₁ и R₄ включены последовательно, так как по ним протекает один ток I₁.

Следовательно, эквивалентное сопротивление цепи (рис. 1.9)

Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и параллельному соединению элементов. Если при нахождении R_Э вы убедились, что в схеме нет последовательно или параллельно соединённых сопротивлений, необходимо воспользоваться преобразованием «звезды» в «треугольник» или наоборот [1,2,3].

1.5. Расчет простых электрических цепей

Электрические цепи можно условно разделить на простые и сложные.

Простой электрической цепью будем считать цепь, содержащую один источник электрической энергии. Если в одной ветви имеется несколько источников, то их всегда можно привести к одному эквивалентному.

Сложной электрической цепью будем называть цепь, содержащую два и более источников в различных ветвях. Расчёт сложных электрических цепей будет рассмотрен позже.

Различают прямую и обратную задачи расчёта простых цепей.

Прямой задачей называется расчет такой цепи, когда в схеме заданы ЭДС (напряжение) источника и сопротивления всех нагрузок. Требуется определить токи (напряжения, мощности) во всех ветвях.

Пример.Дана электрическая цепь, схема которой приведена на рис.1.10.

Известны параметры цепи и источника:

U = 20 В; R₁ = 3 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 1.6 Ом; R₄ = 6 Ом; R₅ = 4 Ом.

Требуется определить токи во всех ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Расчёт прямой задачи ведётся в два этапа.

Первый этап. Цепь надо «свернуть», т.е. найти ее эквивалентное (входное) сопротивление R_Э.

Выберем положительные направления токов в ветвях и укажем их стрелками.

Поэтапно преобразуем цепь. Сопротивления R₄ и R₅ включены параллельно, следовательно,

Ом.

Получаем схему, эквивалентную заданной (рис.1.11).

В полученной схеме сопротивления R₆ и R₃ соединены последовательно, следовательно,

Ом.

Получим схему, эквивалентную предыдущей (рис.1.12).

Здесь R₂ и R₇ включены параллельно. Заменим их сопротивлением R₈ :

Ом.

Новая эквивалентная схема показана на рис.1.13.

Сопротивления R₁ и R₈ включены последовательно, т.е. эквивалентное сопротивление цепи (рис.1.14)

Ом.

Второй этап. Теперь «развернём» схему, т.е. идем по эквивалентным схемам в обратном порядке и находим токи в ветвях.

В схеме (см. рис.1.14) известны U = 20 В, R_Э = 5 Ом.

Следовательно, ток

А.

Переходим к схеме (см. рис.1.13). Здесь найдены все величины.

Переходим к схеме на рис.1.12. В схеме неизвестны токи I₂ и I₃. Их можно найти по закону Ома:

Найдём напряжение U_aс. Здесь возможны два пути.

1. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, куда входит напряжение U_aс:

.

Отсюда получаем искомое напряжение на участке ac:

В.

2. Напряжение U_aс можно определить по закону Ома для участка ac схемы (см. рис.1.13)

В.

Зная напряжение U_aс, находим токи I₂ и I₃ по закону Ома:

A; A.

Аналогично найдём напряжение U_ab:

В.

Тогда токи A; A.

Таким образом, прямая задача решена.

Проверить расчёт можно по законам Кирхгофа.

1. По первому закону Кирхгофа:

для узла «а» A;

для узла «b» A;

для узла «c» A.

2. По второму закону Кирхгофа

В.

Одним из точных способов проверки правильности расчёта токов является проверка по балансу мощностей. В основе баланса мощностей лежит закон сохранения энергии, в соответствии с которым суммарная мощность, отдаваемая источниками в цепь (Р_ист), должна равняться суммарной мощности всех потребителей (Р_потр).

В рассматриваемом примере мощность источника

Вт.

Суммарная мощность потребителей

Вт.

Таким образом,

.

Баланс мощностей соблюдается, следовательно, токи в ветвях схемы найдены правильно.

Для рассматриваемого примера построим потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Потенциальная диаграмма показывает, как изменяется потенциал j при движении вдоль замкнутого контура цепи. По оси абсцисс откладываются сопротивления R участков цепи вдоль контура, по оси ординат – потенциалы точек рассматриваемого контура.

Электрический потенциал j – величина относительная, и его значение зависит от того, какая из точек цепи принимается за базисную и мысленно заземляется, т.е. её потенциал условно считается равным нулю.

Необходимо помнить, что во внешней цепи ток протекает от точки с бóльшим потенциалом к точке с меньшим потенциалом (катится с горки), поэтому при определении потенциала надо учитывать, что если направление тока совпадает с направлением перехода от одной точки к другой, то потенциал понижается на величину падения напряжения IR на этом участке. В противном случае потенциал повышается.

Возьмем замкнутый контур abcma. Пусть потенциал точки а цепи (см. рис.1.10) равен нулю: j_a = 0. Так как ток протекает из точки с бóльшим потенциалом в точку с меньшим потенциалом, то потенциал точки b будет меньше потенциала точки а на величину падения напряжения на сопротивлении R₄ или на сопротивлении R₅:

В.

Потенциал точки с ниже потенциала точки b по той же причине, т.е.

В.

Потенциал точки m выше потенциала точки с из-за наличия на участке cm источника с напряжением U, в котором за счёт работы сторонних сил происходит повышение потенциала, т.е.

В.

Потенциал точки а

В.

Контур abcma замкнулся.

Потенциальная диаграмма приведена на рис.1.15.

Тангенс угла наклона α любого участка потенциальной диаграммы пропорционален току цепи на этом участке.

Например, для участка ab

.

По заданной потенциальной диаграмме контура можно определить потенциалы точек, сопротивления участков, напряжения на участках, токи на участках этого контура.

Рассмотрим обратную задачу.

Обратная задача: по известным току (напряжению или мощности) на одном из участков и сопротивлениям цепи определить остальные токи и напряжение (мощность) источника.

Рассмотрим эту задачу на том же примере (см. рис.1.10), считая, что заданы ток в пятой ветви (I₅ = 1,2 A) и те же сопротивления нагрузок.

Решение. Определим напряжение U_ab по закону Ома:

В.

Так как R₄ и R₅ соединены параллельно, ток в четвертой ветви

А.

Теперь по первому закону Кирхгофа найдем ток в третьей ветви:

A.

Напряжение U_ac определим по второму закону Кирхгофа. Для этого возьмем контур с сопротивлениями R₅, R₃, R₂:

.

Отсюда находим

В.

Ток в ветви сопротивлением R₂

A.

Ток в ветви с источником находим по первому закону Кирхгофа:

A.

Напряжение на зажимах источника

В.

Этот приём можно использовать и для расчёта прямой задачи.

Для этого в наиболее удаленной от источника ветви произвольно задаемся некоторым значением тока (например, 1 А). Далее, продвигаясь к входным зажимам, рассчитываем токи в ветвях и напряжения на участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения источника U', если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как полученное значение напряжения U' в общем случае будет отличаться от действительного значения напряжения U источника, то находим коэффициент K, равный отношению

на который следует умножить все найденные токи и напряжения, чтобы получить их действительные значения. Этот метод расчёта линейных электрических цепей называют методом пропорциональных величин.

1.6. Расчет сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая два и более источников электрической энергии, находящихся в различных ветвях.

Для анализа сложной электрической цепи её необходимо описать системой независимых уравнений, решив которые можно определить токи во всех ветвях, а следовательно, найти напряжения и мощности на всех участках.

В зависимости от поставленной задачи расчёта цепи можно применять любой из пяти ниже рассмотренных методов.