СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.1. Получение синусоидальной ЭДС
и основные характеризующие ее величины

Одним из основных преимуществ трехфазного тока является простейший способ получения вращающегося магнитного поля, которое лежит в основе принципа работы большинства электрических машин.

Но прежде чем рассматривать трехфазные цепи, необходимо рассмотреть цепи однофазного синусоидального тока.

Синусоидальная переменная ЭДС получается в однофазных генераторах. Такой простейший генератор можно представить в виде постоянного магнита (постоянного электромагнита), в поле которого первичным двигателем вращается рамка (фаза) (рис 2.1).

Р и с. 2.1

При вращении рамки в поле постоянного магнита по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться переменная (меняющаяся по величине и направлению) ЭДС (рис. 2.2)

где – потокосцепление рамки; W – число витков рамки
(фазы); – магнитный поток постоянного магнита.

В генераторе переменного тока применяются специальные меры, чтобы ЭДС, наводимая в рамке (обмотке), изменилась по закону синуса, т.е.

где – амплитудное (максимальное) значение ЭДС фазы генератора; – фаза ЭДС, характеризующая значение ЭДС в соответствующий момент времени t; – начальная фаза, характеризующая начальное положение рамки, т.е. значение ЭДС в момент t=0; – угловая частота вращения рамки.

e

E_m

T

Время одного полного оборота (цикла) рамки называется периодом Т. Он определяется скоростью вращения рамки. Величина, обратная периоду, называется частотой, т.е. частота есть число периодов в секунду:

В России и во многих странах принятая частота Гц как наиболее экономичная. Постоянство напряжения сети, его синусоидальность и постоянство частоты являются основными показателями качества электрической энергии.

Таким образом, для полной характеристики синусоидально изменяющейся величины необходимо знать ее амплитуду (максимальное значение), частоту (период) и начальную фазу.

Положительная начальная фаза откладывается влево от начала координат, так как этому положению соответствует положительное значение величины в момент t = 0, а отрицательная начальная фаза – откладывается вправо от начала координат (рис 2.3)

2.2. Мгновенное, действующее, среднее и амплитудное значения синусоидальной функции

Значение переменной ЭДС в заданный момент времени t называется мгновенным значением. Это значение изменяется в диапазоне от до . Обозначается мгновенное значение малой буквой (e, u, i и т.д.).

Не надо путать мгновенное значение (число) с выражением для мгновенного значения (закон изменения функции).

Амплитудным (максимальным) значением тока (ЭДС, напряжения) называется то наибольшее значение, которое принимает функция за период. Для данной функции это постоянное число и обозначается большой буквой с индексом «m» ( ).

Расчетные значения токов (напряжений) должны совпадать с измеряемыми величинами. Измерительные приборы устроены так, что они, в большинстве случаев, показывают действующее (эффективное) значение (I ,U, E и т.д.),поэтому часто расчет электрических цепей ведут в действующих значениях.

Действующим (эффективным) значением переменного тока называется такое его значение, которое на сопротивлении R за время, равное периоду T, выделит такое же количество тепла, что и постоянный ток, т.е. приравнивается тепловой эффект от переменного и постоянного токов.

Действующее значение переменного тока подсчитывается по формуле

При синусоидальном законе изменения тока имеем

Аналогичным образом находятся действующие значения и остальных синусоидальных величин: .

Таким образом, если задан закон изменения тока, например , то его амплитудное значение A, а действующее значение А. Начальная фаза .

Очевидно, что если рассчитано (измерено) действующее значение тока в цепи А, то можно найти его амплитудное значение А. Начальная фаза тока подсчитывается отдельно по параметрам цепи.

При расчете и анализе выпрямительных устройств пользуются средним значением тока (напряжения, ЭДС), которое определяется за половину периода:

т.е. среднее значение синусоидальной функции составляет 0,637 от амплитудного.

Периодически изменяющиеся величины характеризуются коэффициентом формы кривой и коэффициентом амплитуды .

Для синусоидальной функции они соответственно будут

2.3. Векторные диаграммы

При выполнении расчетов цепей переменного тока приходится выполнять арифметические действия над синусоидальными функциями. Это можно сделать аналитически, имея их соответствующие выражения, но при этом требуются некоторые математические преобразования, что загромождает расчет. Для упрощения этой процедуры применяются векторные диаграммы, как это делается в механике при сложении сил, действующих под углом друг к другу. Отличие заключается в том, что в механике векторы неподвижны, а в электротехнике они вращаются с угловой скоростью против часовой стрелки.

Известно, что проекция вращающегося с угловой частотой ω вектора на вертикальную ось описывается синусоидальным законом: .

Это совпадение используется для изображения реальной синусоидально изменяющейся функции вращающимся вектором. Каждой конкретной синусоидальной функции будет соответствовать только один вектор, длина (модуль) которого равна амплитудному, действующему или среднему значениям функции, а начальный угол равен начальной фазе синусоидальной функции .

Положительная начальная фаза откладывается против часовой стрелки (по ходу вращения вектора), а отрицательная – по часовой стрелке (рис.2.4).

Таким образом, векторная диаграмма есть совокупность векторов, построенных с соблюдением определенной ориентации и отражающих определенные физические процессы.

При расчете электрическая цепь должна быть описана системой независимых уравнений, например по законам Кирхгофа. Каждому члену этого уравнения соответствует свой единственный вектор. Графическое исполнение этих уравнений и даст нам векторную диаграмму.

Надо помнить, что векторные диаграммы строятся только для синусоидально изменяющихся величин, причем только если они изменяются с одинаковой частотой. Так как угловая частота вращения для всех векторов постоянная, то взаимное расположение векторов не зависит от рассматриваемого момента времени, поэтому их можно строить для любого момента времени, например для .

Таким образом, анализ цепей переменного тока можно вести как для мгновенных значений (дифференциальные уравнения), так и для действующих (амплитудных или средних) значений (алгебраические уравнения с комплексными числами).

С введением векторных диаграмм законы Кирхгофа надо читать как геометрическую (векторную) сумму.

Первый закон Кирхгофа – геометрическая (векторная) сумма токов в узле электрической цепи равна нулю.

Второй закон Кирхгофа – геометрическая (векторная) сумма падений напряжения в замкнутом контуре электрической цепи равна геометрической (векторной) сумме ЭДС, действующих в этом же контуре.

В качестве примера найдем сумму двух синусоидальных токов:

А;

А.

Для этого изобразим их векторами и . Векторы строятся в масштабе. Сложение векторов ведется по правилу параллелограмма (рис. 2.5).

Выбрав масштаб токов и построив их с учетом начальной фазы, получим

А.

Угол ψ можно рассчитать аналитически или измерить транспортиром.

Так как расчет часто ведется в действующих значениях, то и векторные диаграммы обычно строятся для действующих значений токов и напряжений.

Напомним, что в цепи переменного тока все действия над токами и напряжениями выполняются в геометрической (векторной) форме и требуют построения векторной диаграммы. При построении один из векторов принимается за основной (исходный), а остальные векторы ориентируются относительно исходного.

При последовательном соединении за исходный вектор выбирается вектор тока, так как он объединяет все элементы ветви, а при параллельном соединении – вектор напряжения. При смешанном соединении рекомендуется за исходный вектор выбирать вектор напряжения на параллельном участке.

При построении векторных диаграмм для электромагнитных устройств за основу принимается вектор магнитного потока .

2.4. Элементы цепей синусоидального тока

Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Составными элементами цепей синусоидального тока являются активное сопротивление r, индуктивность L и емкость С.

В отличие от цепей постоянного тока термин «сопротивление» для цепей переменного тока недостаточно определен, так как сопротивление ему оказывают не только элементы цепи, в которых энергия выделяется в виде теплоты(активное сопротивление r), но и элементы, в которых энергия в виде теплоты не выделяется, а периодически запасается в электрическом или магнитном полях. Такие элементы (индуктивность L и емкость С) называют реактивными, а их сопротивления переменному току – реактивными сопротивлениями.

2.4.1. ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ r

Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, содержащую только резистор с активным сопротивлением r (рис.2.6).

Пусть напряжение источника изменяется по синусоидальному закону

Тогда по закону Ома ток в сопротивлении r

где или .

Сравнивая выражения для тока и напряжения , видим, что на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, что иллюстрируется волновой (рис.2.7,а) или векторной (рис.2.7,б) диаграммами.

2.4.2. ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ИНДУКТИВНОСТЬЮ L

Пусть дана цепь (рис.2.8), содержащая идеальную индуктивность L (r = 0).

Индуктивность – это параметр, характеризующий катушку. При подключении катушки в сеть по виткам потечет ток , который создаст соответствующий магнитный поток Ф(t), причем постоянный ток создает постоянный магнитный поток, а синусоидальный ток создает синусоидальный магнитный поток:

Этот поток, пронизывая витки собственной катушки, согласно закону электромагнитной индукции наведет в витках катушки ЭДС самоиндукции

Здесь , где ψ – потокосцепление; Ф – магнитный поток; W – число витков катушки; L – индуктивность катушки.

Таким образом, индуктивность L есть коэффициент пропорциональности между током и потокосцеплением ψ. Доля напряжения источника, идущая на компенсацию (уравновешивание) ЭДС самоиндукции e_L, называется падением напряжения на индуктивности, т.е.

Итак, , а ток в ветви с индуктивностью .

Пусть по катушке протекает синусоидальный ток .

Тогда падение напряжения на индуктивности будет

где или .

Таким образом, – закон Ома для участка цепи с индуктивностью.

Сравнивая выражения и , видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол (рис. 2.9).

Величина имеет размерность сопротивления и называется индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте.

2.4.3. ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ЕМКОСТЬЮ С

Емкость С – параметр, характеризующий свойства конденсатора. Напомним, что конденсатор обычно представляет собой две проводящие пластины, между которыми находится диэлектрик. Непосредственно через конденсатор (диэлектрик конденсатора) ток не проходит, а в ветви с конденсатором протекает ток заряда конденсатора.

При включении конденсатора в сеть с напряжением U на его обкладках возникают положительные (+q) и отрицательные (-q) заряды. Количество электрических зарядов связано с напряжением соотношением

где q – заряд на обкладках конденсатора; – напряжение между обкладками конденсатора; С – коэффициент пропорциональности, т.е. емкость конденсатора.

Ток в цепи конденсатора определяется выражением , а напряжение на конденсаторе .

Пусть конденсатор включен в цепь синусоидального напряжения (рис. 2.10).

Закон изменения напряжения

Ток в цепи

Величина имеет размерность сопротивления и называется емкостным сопротивлением. Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте.

На конденсаторе амплитудные (действующие) значения тока и напряжения связаны законом Ома:

или .

Сравнивая фазы напряжения и тока , видим, что на конденсаторе напряжение отстает от тока на угол ( )(рис. 2.11).

2.5. Последовательное соединение элементов r, L и C
в цепи синусоидального тока

Пусть дана цепь (рис. 2.12), содержащая последовательно соединенные элементы r, L и C.

Р и с. 2.12

По второму закону Кирхгофа имеем

где – предварительное напряжение на конденсаторе.

Положим . Уравнение для действующих значений имеет вид (сумма геометрическая)

Напряжения на элементах цепи по закону Ома равны

и .

Выполним эту геометрическую сумму, т.е. построим векторную диаграмму при условии .

Выберем масштаб тока и напряжения. За исходный вектор выбираем вектор тока, так как он является общим для всех трех элементов (рис. 2.13).

В произвольном направлении откладывается вектор I. Так как падение напряжения совпадает по фазе с током, то откладываем вектор , совпадающий по направлению с током I.

Падение напряжения на индуктивности опережает вектор тока на угол . Следовательно, из конца вектора проводим вектор , опережающий ток на (влево). К концу вектора прибавим вектор , но так как он отстает от тока на , то из конца вектора проводим вектор , направленный вправо. Так как , то . Соединив начало первого вектора с концом последнего, получим результирующий вектор .

Полученный прямоугольный треугольник называется треугольником падений напряжений, причем результирующее напряжение (напряжение источника) опережает ток на угол , так как преобладает индуктивное сопротивление ( ).

Модуль напряжения источника , а фаза .

Обратите внимание, что напряжения и вычитаются, так как они находятся в противофазе (угол сдвига между ними ), а величина результирующего напряжения находится по теореме Пифагора.

Таким образом, зная U и , найдем и запишем закон изменения напряжения:

Если все стороны треугольника падений напряжений разделим на общую величину тока I, то получим треугольник сопротивлений, подобный исходному, но стороны его не являются векторами, так как r, x_L и x_C не изменяются по закону синуса (рис.2.14).

В случае, если , угол и нагрузка носит активно-индуктивный характер, а при угол и нагрузка носит активно-емкостный характер.

Из треугольника сопротивлений видно, что модуль эквивалентного сопротивления на k-том участке цепи Z_k находится по теореме Пифагора:

Угол сдвига фаз между напряжением участка и током на этом же участке будет

Таким образом, зная напряжение на k-том участке и все сопротивления этого участка, модуль (действующее значение) тока в нем найдем по закону Ома для участка цепи:

В случае, когда ветвь содержит несколько последовательно соединенных однохарактерных элементов r, x_L или x_C, ее полное сопротивление будет

Следовательно, ток этой ветви будет изменяться по закону

Обратите внимание, что при последовательном соединении элементов в цепи переменного тока складываются только однохарактерные сопротивления, т.е. и .

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1.Дано: участок цепи (рис. 2.15) с двумя последовательно соединенными сопротивлениями Z₁= 10 Ом, и Z₂= 20 Ом, ( ). Напряжение на участке цепи U = 22,3 В; частота f = 50 Гц.

Определить ток на участке цепи и напряжения на элементах.

Р и с. 2.15

Для нахождения эквивалентного сопротивления Z_Э участка модули этих сопротивлений Z₁ и Z₂ необходимо разложить на составляющие.

Сопротивление Z₁ имеет , т.е. оно может быть представлено последовательной схемой замещения и содержит r₁ и , а сопротивление Z₂ имеет , т.е. оно носит активно-емкостный характер и содержит r₂ и . Следовательно, заданную цепь можем представить следующей схемой (рис. 2.16).

Р и с. 2.16

Разложим Z₁ и Z₂ на составляющие, используя соотношения прямоугольного треугольника (см. рис.2.14). Получим

Ом;

Ом.

Тогда

Ом.

Угол сдвига между напряжением и током в ветви

Ток в цепи

А.

Падения напряжения на отдельных участках цепи найдем по закону Ома:

В;

В.

По этим данным построим векторную диаграмму напряжений и токов.

Выбираем масштаб U и I.

За исходный выбираем вектор тока и откладываем векторы падений напряжения на элементах цепи в следующей последовательности:

В итоге получим векторную диаграмму (рис.2.17).

Пример 2.Дана цепь (рис.2.18). Напряжение на источнике В; частота Гц; Ом; L =12,75 мГн.

Определить показания всех приборов и закон изменения во времени тока и напряжений на элементах.

Дано напряжение источника и параметры цепи, т.е. задана прямая задача.

1. Найдем модуль индуктивного сопротивления

L = 12,75 мГн = 12,75·10^-3 Гн;

Ом.

2. Найдем модуль полного сопротивления:

Ом.

Обратите внимание, что нельзя арифметически складывать разнохарактерные сопротивления r и x_L.

3. Найдем модуль действующего значения напряжения источника. Так как задано В, то действующее значение напряжения

В.

4. Модуль действующего значения тока

А.

5. Угол сдвига фаз между U и I

Так как характер нагрузки активно-индуктивный, то ток I отстает от напряжения U на угол .

6. Закон изменения тока в цепи

Падения напряжения на участках r и L будут

В;

В.

Падение напряжения совпадает по фазе с током i(t), следовательно,

В.

Падение напряжения на индуктивности опережает ток на угол , следовательно,

В.

Пример 3.Вольтметры в цепи (см. рис.2.18) показали: U₁=30 В; U₂=40 В.

Определить действующее значение напряжения источника питания: U – ?

Строим векторную диаграмму (рис.2.19). За исходный вектор при последовательном соединении выбираем вектор тока I.

Так как U₁есть падение напряжения на r, то откладываем его по току, а падение напряжения U₂на x_L опережает ток на . Суммируем векторы и по правилу треугольника, получим вектор результирующего напряжения .

Порядок построения:

Действующее значение напряжения источника

В.

Пример 4.В схеме (рис.2.20) U = 48 В; f = 50 Гц; r = 8 Ом;

C = 530 мкФ.

Определить токи в ветвях.

Так как соединение параллельное, то напряжение на r и C известно, и его действующее значение равно U.

Следовательно, токи в параллельных ветвях схемы можем найти по закону Ома.

Сопротивление ветви с емкостью

Ом.

Тогда токи в параллельных ветвях

А;

А.

Ток неразветвленной части схемы найдем по векторной диаграмме. За исходный вектор выбираем вектор напряжения U. Ток I₂ совпадает по фазе с напряжением U, а ток I₁ опережает на .

Порядок построения

Таким образом, получим прямоугольный треугольник (рис.2.21), из которого находим ток I.

Ток в общей ветви

А.

Угол сдвига фаз

Следовательно, закон изменения тока в общей ветви

А.

Пример 5.В схеме (см. рис.2.20) известны действующие значения токов I = 50 А; I₂= 30 А.

Определить действующее значение тока I₁.

Из векторной диаграммы (см. рис.2.21) следует

А.

2.6. Мощность в цепи синусоидального тока

Мгновенная мощность p(t) на участке цепи равна произведению мгновенных значений напряжения и тока на этом участке.

Пусть

и .

Тогда

Таким образом, мгновенная мощность состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – постоянная величина, а второе слагаемое изменяется с двойной частотой.

Найдем среднюю мощность за период

Итак, имеем

где .

Средняя мощность P есть активная мощность цепи, т.е. мощность, преобразуемая в «полезную». Величину называют коэффициентом мощности.

Величину называют полной или кажущейся мощностью.

Как видно, полная и активная мощности синусоидального тока связаны соотношением прямоугольного треугольника . Следовательно, имеется второй катет треугольника, которым изображается реактивная мощность Q.

Треугольник мощностей представлен на рис.2.22.

Реактивная мощность

где .

Эти три мощности имеют соответствующие размерности:

[S] = ВА; [P] = Вт; [Q] = ВАр.

Источник электрической энергии поставляет потребителю полную мощность . В зависимости от соотношения параметров потребителя в цепи формируется составляющий коэффициент мощности , который определяет экономичность работы электроустановки. Реактивная мощность Q обеспечивает передачу электрической энергии посредством магнитного потока из одной обмотки в другую (от статора к ротору, от первичной обмотки к вторичной).

Приведем график мгновенной мощности (рис.2.23).

Положительная мгновенная мощность означает, что мощность передается от источника потребителям, а отрицательная – что она отражается от потребителя и возвращается к источнику. Как видно, соотношение между положительной и отрицательной мощностями определяется углом сдвига фаз между напряжением и током. По графику мгновенной мощности можно определить P и S. Здесь активная мощность Р есть ось симметрии, вокруг которой колеблется мгновенная мощность.

На активном сопротивлении r ток и напряжение совпадают по фазе ( ), следовательно, и S = P, а Q = 0, и вся потребляемая энергия преобразуется в тепловую (нагрев).

На реактивных элементах (L и C) угол сдвига фаз , т.е. , следовательно, активная мощность и

Основные соотношения между напряжением и током на элементах r, L, C представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Параметр	Сопротивление	Индуктивность	Емкость
Обозначение
Величина
Связь мгновенных значений	тока с напряжением
напряжения с током
Модель сопротивления	r
Связь действующих значений	тока с напряжением
напряжения с током
Угол сдвига фаз между u и i
Векторная диаграмма
Мощность
Энергетические процессы	Тепловые процессы	Энергия магнитного поля	Энергия электрического поля

Итак, анализ цепей переменного тока показывает, что часто в расчетах надо определять модуль величины (I, U, E) и ее начальную фазу . При этом необходимо выполнять геометрические действия. Все это затрудняет расчет цепей. Для облегчения расчета, аналитического учета углов сдвига фаз и для замены геометрических действий на алгебраические (как в цепях постоянного тока) применяется символический метод, основанный на использовании комплексных чисел.