МЕТОД ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Пусть дана сложная цепь (рис.1.16).

Данная цепь содержит два источника ЭДС Е₂ и Е₃ и один источник тока J₂, находящиеся в разных ветвях, т.е. относится к сложным цепям.

По первому закону Кирхгофа составляют n–1 уравнений, где n – число узлов схемы. Последнее n-ное уравнение не будет содержать новой связи между неизвестными, т.е. будет линейно зависимым.

По второму закону Кирхгофа составляют y – y_j – n + 1 число уравнений, где y – число ветвей в схеме; y_j – число ветвей с источниками тока, ток в которых изначально известен.

Независимость уравнений, или, как говорят, независимость контуров, будет обеспечена, если эти контуры выбирать так, чтобы каждый последующий отличался от предыдущих, по крайней мере, одной новой ветвью.

Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.16)

n = 5, у = 8, y_j = 1.

Следовательно,запишем четыре (5 – 1 = 4) уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, d, c и m и три (8 -1 -5 +1 = 3) уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров I, II, III:

Решив полученную систему, найдём значения токов в ветвях.

Недостатком рассмотренного метода является большое число уравнений, а следовательно, громоздкость вычислений. Достоинством метода является то, что в результате расчёта получим значения действительных токов в ветвях.

1.6.2. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов позволяет уменьшить число уравнений системы и обеспечивает некоторый автоматизм в записи системы уравнений, что облегчает расчёт.

В этом методе считаем, что в каждом независимом контуре k протекает свой контурный ток I_kk. При этом действительные токи в ветвях, являющихся общими для двух и более контуров, равны алгебраической сумме соответствующих контурных токов. При введении в рассмотрение контурных токов отпадает необходимость в записи уравнений по первому закону Кирхгофа, и порядок системы равен числу независимых контуров.

Если в схеме имеется ветвь с источником тока, то независимые контуры выбираются так, чтобы она вошла только в один из них. Контурный ток такого контура считается известным и равным току источника тока, а уравнение для этого контура не составляется.

В рассматриваемой сложной цепи (рис.1.17) можно выделить четыре независимых контура.

Для четвертого контура, содержащего источник тока J₂, контурное уравнение не составляется, так как ток в этом контуре I₄₄ известен и равен току источника J₂, а все слагаемые с этим током, входящие в систему, считаются известными и при расчёте переносятся в правую часть системы.

При записи системы уравнений по методу контурных токов в общем виде учитываем, что всего контурных токов четыре (I₁₁, I₂₂, I₃₃, I₄₄), но один из них известен (I₄₄= J₂), следовательно, уравнений в системе будет три – по числу неизвестных.

По второму закону Кирхгофа

Коэффициенты R₁₁, R₂₂, R₃₃, R₄₄ имеют размерность сопротивлений, называются собственными сопротивлениями контуров и равны сумме сопротивлений, входящих в данный контур:

R₁₁=R₂+R₄+R₅; R₂₂=R₁+R₃+R₄; R₃₃=R₃+R₅+R₆.

Коэффициенты R₁₂, R₂₁, R₁₃, R₃₁, R₂₃, R₃₂, R₁₄, R₂₄, R₃₄имеют размерность сопротивлений, называются взаимными сопротивлениями контуров и равны сопротивлению смежной (общей) ветви между соответствующими контурами, взятому со знаком «+», если контурные токи обтекают эту ветвь в одном направлении, и со знаком «–», если контурные токи обтекают эту ветвь в противоположных направлениях:

R₁₂= R₂₁=R₄; R₁₃=R₃₁=R₅; R₂₃=R₃₂=R₃; R₁₄=R₂; R₂₄=0; R₃₄=0.

Правые части уравнений системы Е₁₁, Е₂₂, Е₃₃ называются контурными ЭДС и равны алгебраической сумме ЭДС, входящих в соответствующие контуры:

Е₁₁ = Е₂; Е₂₂ = -Е₃; Е₃₃ = Е₃.

Слагаемые R₁₄I₄₄ = R₁₄J₂, R₂₄I₄₄= R₂₄J₂, R₃₄I₄₄ = R₃₄J₂в полученной системе известны. Перенеся их в правые части уравнений, получим

Решив данную систему, найдём значения контурных токов.

Действительные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по данным ветвям.

В рассматриваемом примере окончательно имеем

I₁ = -I₂₂; I₂ = I₁₁; I₃ = -I₂₂+I₃₃; I₄ = I₁₁+I₂₂;

I₅= I₁₁-I₃₃; I₆= -I₃₃; I₇ = I₁₁-I₄₄ = I₁₁-J₂.

1.6.3. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Метод узловых напряжений (потенциалов) применяется в тех случаях, когда число узлов меньше числа независимых контуров или когда требуется определить потенциалы узлов цепи.

В этом методе за неизвестные принимаются потенциалы узлов.

Так как один из n узлов схемы мы можем мысленно заземлить (принять его потенциал равным нулю, т.е. известным), то для определения потенциалов оставшихся узлов методом узловых напряжений требуется составить n–1 уравнений.

После определения потенциалов всех узлов цепи токи в ветвях могут быть найдены по закону Ома.

Перед началом расчета рекомендуется ввести цифровое обозначение узлов схемы, а также преобразовать идеальный источник тока с параллельно присоединенным сопротивлением в эквивалентный идеальный источник ЭДС с последовательно присоединенным сопротивлением (при отсутствии присоединенных указанным образом сопротивлений преобразование идеального источника тока в идеальный источник ЭДС и наоборот невозможно).

Рассмотрим цепь, представленную на рис.1.16.

Заменим источник тока J₂ на эквивалентный источник ЭДС (рис.1.18).

После этого преобразования схема приобретает следующий вид (рис.1.19).

В полученной схеме (см. рис.1.19) .

Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю: j ₄= 0.

Тогда система уравнений по методу узловых напряжений для определения трех неизвестных потенциалов в общем виде [1,2,3] имеет вид

Коэффициенты G₁₁, G₂₂, G₃₃имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, подходящих к данному узлу:

Коэффициенты G₁₂, G₂₁, G₁₃, G₃₁, G₂₃, G₃₂имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, соединяющих соответствующие узлы схемы, взятой со знаком «–»:

Правые части уравнений системы J₁₁, J₂₂, J₃₃ называются узловыми токами. Узловой ток – это расчетная величина, равная алгебраической сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к данному узлу, на проводимости этих ветвей. Если ЭДС направлена к узлу, то произведение берётся со знаком «+», а если от узла – то со знаком «–».

Если к узлу подходит ветвь с источником тока, то его ток войдет в узловой ток со знаком «+», если он направлен к узлу, или со знаком «–», если от узла.

В рассматриваемой схеме (см. рис.1.19)

В результате расчёта системы получим значения потенциалов всех узлов ( ) и по ним найдём значения токов в ветвях по закону Ома:

Ток I₇ в исходной схеме с источником тока (см. рис.1 .16) получим по первому закону Кирхгофа:

I₇ = I₂ – J .

1.6.4. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Метод наложения основан на принципе наложения (суперпозиции): ток в любой ветви сложной цепи при действии всех источников равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых в этой ветви каждым из источников в отдельности.

Таким образом, исходная сложная электрическая цепь может быть разбита на ряд простых, получаемых путем последовательного исключения из схемы всех источников кроме одного. При исключении источников они удаляются из схемы, а на их месте остаются только их внутренние сопротивления. Соответственно, на месте идеального источника ЭДС остается закороченный участок, а на месте идеального источника тока – разрыв.

В полученных простых цепях рассчитываются частичные токи во всех ветвях от действия каждого источника в отдельности, а действительные токи ветвей исходной сложной цепи находятся как алгебраическая сумма соответствующих частичных токов.

При применении метода наложения к цепи (см. рис.1.16) последовательность действий выглядит следующим образом:

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е₃ (замыкаем его зажимы) и источник тока J₂ (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е₂;

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е₂ (замыкаем его зажимы) и источник тока J₂ (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е₃;

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е₂ и источник ЭДС Е₃ (замыкаем их зажимы) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только источника тока J₂;

находим полные токи в ветвях исходной сложной схемы как алгебраическую сумму соответствующих частичных токов.

Недостатком метода наложения является его громоздкость в случае расчета достаточно сложной схемы с большим количеством источников.

1.6.5. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Метод эквивалентного генератора рационально применять в том случае, когда требуется определить ток (или найти его аналитическое выражение) лишь в одной ветви цепи, без нахождения токов в остальных ветвях.

В основе метода лежит замена части цепи, подключенной к зажимам заданной ветви, эквивалентным источником и определение параметров этого источника. В зависимости от выбора вида эквивалентного источника различают метод эквивалентного генератора напряжения (источник ЭДС) или эквивалентного генератора тока (источник тока).

Расчёт методом эквивалентного генератора напряжения заключается в определении ЭДС и внутреннего сопротивления эквивалентного источника и состоит в следующем.

1. В заданной схеме обрывается ветвь, в которой требуется определить ток, и любым из известных методов определяется напряжение холостого хода U_ХХ на разрыве.

Получаем ЭДС эквивалентного источника: E_Э = U_ХХ.

2. Определяется входное сопротивление R_ВХ цепи относительно заданной ветви. Для этого исключаем из схемы все источники и полученную схему преобразовываем (сворачиваем) к одному эквивалентному сопротивлению.

Получаем внутреннее сопротивление эквивалентного источника: r_Э = R_ВХ.

3. С помощью этих двух преобразований исходная сложная электрическая цепь заменяется эквивалентной одноконтурной схемой (рис.1.20).

Здесь R – сопротивление ветви, в которой необходимо найти ток.

Ток заданной ветви

Преобразовав в схеме (см. рис.1.20) источник ЭДС в источник тока, получим схему эквивалентного генератора тока, ток которого равен току короткого замыкания в заданной ветви. Для определения этого тока необходимо замкнуть накоротко сопротивление R заданной ветви и найти ток в ней любым известным методом [2].

Ток заданной ветви в этом случае находится по формуле

В качестве примера применения метода эквивалентного генератора рассмотрим нахождение тока I₁ в схеме (см. рис.1.19).

1. Обрывая первую ветвь, получим схему (рис.1.21).

Найдём напряжение на разрыве U_ХХ методом узловых потенциалов.

Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю:
j₄= 0. Тогда система уравнений по методу узловых напряжений в общем виде выглядит следующим образом:

Коэффициенты и свободные члены в системе

Здесь ЭДС .

Подставляем эти значения в систему уравнений. Решив её, получим значения потенциалов всех узлов: , , и .

Тогда напряжение холостого хода будет

2. Определим входное сопротивление цепи R_ВХ относительно первой ветви. Для этого исключим из схемы оба источника, оставив только их внутреннее сопротивление (внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю).

Полученная схема (рис.1.22) не содержит ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений, поэтому для решения задачи необходимо применить преобразование «звезды» в «треугольник» или наоборот.

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R₂R₄R₅ в эквивалентную «звезду» R₂₄R₂₅R₄₅ (рис.1.23):

В результате этого преобразования получаем новую схему. Преобразуя последовательно и параллельно соединенные сопротивления (рис.1.24), найдем входное сопротивление схемы R_ВХ относительно оборванной ветви:

Таким образом, зная параметры эквивалентного генератора, находим ток I₁:

Проверим расчёт цепи балансом мощностей.

Для схемы (см. рис.1.16) составим уравнение энергетического баланса:

Для учёта мощности источника тока найдём напряжение на его зажимах

и его мощность

Так как направления токов через оба источника ЭДС совпадают с направлениями этих ЭДС, то мощности этих источников E₂I₂ и E₃I₃войдут в баланс мощностей со знаком «+»: