Комплексного чертежа

Аппарат ортогонального проецирования и его модели

8.1.1. Геометрическая модель аппарата получения двухкартин-ного комплексного чертежа

(рис.8.1)

Геометрическая структура аппара-та как системы состоит из 4-х плоскос-тей и 3-х центров проецирования.

Плоскости и их взаимное распо-ложение:

П₁ – горизонтальная плоскость проекций. Разбивает эвклидово прост-ранство на два полупространства, рас-положенных над и под ней.

П₂ – фронтальная плоскость про-

екций, перпендикулярная к П_1.

Разбивает эвклидово пространство на

два полупространства, расположен-ных перед и за ней.

П¢ - основная плоскость проекций или картина. Совпадает с П₂ .

П₁ ^ П₂ и как система двух взаим-но-перпендикулярных плоскостей, раз-бивают друг друга на пару полупло-скостей. П₁ разбивается на переднюю и заднюю полы, а П₂ – на верхнююи ниж-нюю полы. Эти полы соответственно ограничивают 4 четверти (или квадран-та) эвклидова пространства:

1-я четверть - между передней полой П₁ и верхней полой П₂;

2-я четверть – между задней по-лой П₁ и верхней полой П₂ ;

3-я четверть – между задней по-лой П₁ и нижней полой П₂ ;

4-я четверть – между передней полой П₁ и нижней полой П_{2 .}

Плоскости проекций П₁ и П₂ между собой пересекаются по прямой х₁₂, на-зываемой осью проекций. Это двойная

линия.

d - биссекторная плоскость 2-й и 4-й

четвертей пространства, располагается по отношению к картине под углом 45°.

Определение 8.1.Прямые углы ме-

жду П₁ и П₂ 2-й и 4-й четвертей, которые плоскость d делит пополам, называются у г л а м и с о в м е щ е-

н и я четныхчетвертей.

Центры проецирования:

S¹_¥ – удалён в бесконечность по

направлению s¹ ^П₁ ;

S² _¥ – удалён в бесконечность по

направлению s² ^П₂ ;

S¢ _¥ – удалён в бесконечность по

направлению s ^d.

8.1.2.Графическая модель аппарата

Получения двухкартинного

комплексного чертежа

Так как все 4 бесконечно протя-женные плоскости аппарата инциде-нтны горизонтальной оси х₁₂, то она их и з о б р а ж а е т.

Так как направления проецирова-ния перпендикулярны к плоскостям про-екций, то из центра S¢ они изобража-ются на П¢ º П₂ в виде в е р т и к а л ь-

н о й л и н и и с в я з и ( рис.8.2).

Вертикальность линии связи в гра-фической модели аппарата получения двухкартинного комплексного чертежа является её инвариантным свойством, так как определяется соответствующей конструктивной особенностью этого ап-парата. Поэтому вертикальные (а зна-чит, параллельные друг другу) линии связи являются элементами определи-теля ортогонального двухкартинно-го комплексного чертежа.

Ось проекций х₁₂ является вторым конструктивным элементом этого опре-делителя, но его горизонтальное поло-жение на поле чертежа безразлично по отношению к структуре получаемых проекций и поэтому, как правило, её можно не и з о б р а ж а т ь.

Определение 8.2.Двухкартинный ортогональный чертёж без указания оси проекций называется б е з о с -

н ы м(рис.8.3).

Безосные комплексные чертежи яв-ляются наиболее распространёнными в практике архитектурного и дизайнерско-го проектирования.

Рис.8.4.Геометрическая модель

аппарата получения трехкартинного

комплексного чертежа

Рис.8.5.Графическая модель аппарата получения трёхкартинного комплексного чертежа

8.1.3 .Геометрическая модель аппарата получения трёхкартин-ного комплексного чертежа (рис.8.4).

Геометрическая структура аппарата состоит из 6 взаимосвязанных плос-костей и 4-х центров проецирования.

Плоскости и их взаимное располо-жение:

П₁ – горизонтальная плос-

кость проекций;

П₂ -- фронтальная плоско-

сть проекций;

П₂ ^ П₁ (см. рис.8.1);

П₂ ´П₁ = х₁₂;

П₃ – профильная плоско-

сть проекций; П₃ ^ х₁₂ ;

П₃ разбивает каждую чет-верть пространства попо-лам и образует 8 его час-тей или о к т а н т о в:

1-й квадрант разбивается

на 1-й и 5-й октанты;

2-й квадрант разбиваетсяна 2-й и 6-й октанты;

3-й квадрант разбивается на 3-й и 7-й октанты , а 4-й, - на 4-й и 8-й октанты.

П₃ ´ П₂ = z₂₃; П₃ ´ П₁ = у₁₃.

Оси х₁₂ ^у₁₃ ^ z₂₃ образуют систему осей проекций, которые пересекаются в одной тройной точке О₁₂₃.

Точка О₁₂₃ делит оси проекций на две полуоси, имеющие положительное (влево, вперёд и вверх) и отрицатель-ное (вправо, назад и вниз) направле-ние. Если оси проекций проградуиро-вать единицами е натурального мас-штаба (в архитектурном и дизайнерс-ком проектировании - в миллиметрах), то они станут осями декартовых коор-динат или натуральным координатным репером S (Охуz,e)[ 72], дающим воз-можность метризовать положение изо-бражаемого объекта в пространстве.

П¢ - картина. Совпадает с П₂;

d - биссекторная плоскость 2-го,

4-го, 6-го и 8-го октантов, т.е., угла сов-мещения П₁ с П₂ . d ^ П₃ и пересекает её по биссектрисе k₃ угла между осями у₁₃ и z₂₃ .

g - биссекторная плоскость 2-3-5-7 октантов, т.е., угла совмещения П₃ с П_2.

Плоскость g перпендикулярна к П₁ и

пересекает её по биссектрисе угла

между осями х₁₂ и у₁₃ .

Будучи непараллельными между со-бой, плоскости d и g пересекаются по прямой k , проходящей через О₁₂₃ -- начало координат.

Центры проецирования:

S¹_¥ - удалён в бесконечность по

направлению s¹^ П₁ ;

S²_¥ - удалён в бесконечность по

направлению s²^ П₂ ;

S³_¥ - удалён в бесконечность по

направлению s³^ П₃ ;

S¢_¥ -- удалён в бесконечность по

направлению s ^d .

8.1.4. Графическая модель аппарата

получения трёхкартинного комплексного чертежа (рис.8.5)

Так как все 6 безграничных плос-костей между собой конкурентны, то на П¢ они изображаются линиями своего пересечения, т.е., осями проекций, пе-ресекающимися под прямым углом в точке О_123, через которую проходит бис-сектриса k₁₂₃ угла между осями х_12, z₂₃ Эта линия является картинной проек-цией из S^¥ линии пересечения биссек-торных плоскостей d и g. Так как поло-жение этих плоскостей задано по усло-вию и неизменно в структуре аппарата, то положение линии k₁₂₃ ( под углом 45° к осям проекций) неизменно на кар-тинной плоскости. Поэтому линия k₁₂₃ называется постоянной прямой трёх-картинного комплексного чертежа.

Определение 8.3. Графическаяконструкция, состоящая из двух вза-

имно-перпендикулярных прямых, изо-бражающих попарно-тождественные оси проекций, и четырёх перпендику-лярных к этим осям линий связи, ниж-няя и правая из которых изламы-вается на постоянной прямой k₁₂₃ , на-зывается о п р е д е л и т е л е м трёхкартинного ортогонального ком-плексного чертежа.

Оси проекций, положение которых на чертеже относительно безразлично к структуре получаемыхпроекций, прак-тически можно не изображать.

Рис.8.6. Геометрические модели точек

пространства в системе двух

плоскостей проекций

Рис. 8.7.Графические модели различных

точек эвклидова пространства