Проверка прочности балки из хрупкого материала

Пример 12.1

a = 3.9м, b = 0.9м, c = 1.2м, кН/м , кН/м ,

кН, 5кН×м, ;

сталь: МПа, ГПа, ;

древесина: МПа, ГПа, .

Расчетные нагрузки:

кН/м, кН/м, кН ,

кН×м.

Расчетная схема балки приведена на рис. 12.1

Рис.12.1 Расчетная схема балки

Вычисляем опорные реакции. Из уравнений равновесия получим

, кН;

кН.

Проверка:

На рис.12.2 показана расчетная схема балки, в которой опорные устройства удалены, а их действие заменено опорными реакциями.

Начало координат примем на левом конце балки. Построение эпюр и будем выполнять по участкам загружения, которых в рассматриваемом примере три. Граничные точки между участками будем называть узловыми или просто узлы. В качестве узловых принимаются точки приложения сосредоточенных нагрузок (сил и пар), начало или конец распределенной нагрузки, начало или конец балки. Узлы на расчетной схеме занумеруем цифрами 0, 1, 2, 3, а участки между узлами (элементы) цифрами 1,2,3 с прямоугольным окаймлением (рис.12.2).

Построение эпюр усилий выполним используя уравнения равновесия узлов и элементов балки.

Рис.12.2 Балка с нумерацией узлов и участков (элементов)

Проведем сечение вблизи точки 0 справаивыделимузел 0. Узел должен находится в равновесии под действием внешних (сосредоточенных) и внутренних сил и моментов(рис.12.3). На рис.12.3 через , обозначены поперечная сила и изгибающий момент в начале первого элемента (участка) балки.

Составим уравнения равновесия узла: , , ; , . Таким образом, усилия в начале первого участка известны, их необходимо проставить на эпюрах (рис.12.10) .

Рис.12.3 Узел 0

1-й участок Рис.12.4 Элемент 1-го участка

Выделим элемент балки в пределах первого участка двумя сечениями: первое правее точки 0, а второе в произвольном месте первого участка(рис.12.4). Второе сечение отмечено координатой . В начале элемента балки поперечная сила и изгибающий момент известны: ; . Вдоль элемента на длине приложена распределенная нагрузка интенсивностью 18кН/м. На правом конце неизвестные внутренние усилия поперечная сила и изгибающий момент Составим уравнение равновесия элемента: , , . На концах участка функция меняет знак, т.е. , . Найдем положение сечения, в котором Имеем: и Ординаты проставляем на эпюре. Второе уравнение равновесия: , , . Проверяем дифференциальную зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой , выполняется. Значения изгибающего момента в характерных точках: ; . Строим эпюру изгибающих моментов на первом участке (рис. 12.10)

Вырезаем узел 1 (рис.12.5). Показываем внутренние усилия в элементах, прилегающих к узлу и приложенную в узле пару сил 6 кНм.Слева от узла и . Справа от узла в сечении действуют: поперечная сила и изгибающий момент в начале 2-го участка.

Составим равнения равновесия узла: 1: , , ; , , . Таким образом, усилия в начале 2-го участка известны, проставляем их значения на эпюрах.

Рис. 12.2 Балка с нумерацией узлов и участков (повторение рисунка)

Рис.12.5 Узел 1

2-ой участок Рис.12. 6 Элемент 2-го участка

Выделим элемент балки в пределах 2-го участка двумя сечениями: первое правее точки 1, а второе в произвольном месте 2-го участка (рис.12.6). Составим уравнение равновесия элемента: , , кН, ,

, , . Проверяем дифференциальную зависимость , выполняется. Значение на конце участка .

Вырезаем узел 2 (рис.12.7). Показываем внутренние усилия в элементах прилегающих к узлу и приложенную в узле внешнюю силу 32,52 кН.

Составим равнения равновесия узла 2: , , , , , . Таким образом, усилия в начале 3-го участка известны.

Выделим элемент балки в пределах 3-го участка двумя сечениями: первое правее точки 2, а второе в произвольном месте 3-го участка (рис.12.8).

Составим уравнение равновесия элемента: , ,

, кН. По концам участка функция меняет знак , . Найдем положение сечения, в котором Имеем: и Сумма моментов всех сил относительно точки : , ,

Рис. 12.2 Балка с нумерацией узлов и участков (повторение рисунка)

Рис.12.7 Узел 2

3-й участок   Рис. 12.8 Элемент 3-го участка

. Проверяем, дифференциальную зависимость , выполняется. Значения изгибающего момента в характерных точках 3-го участка: ; ; . Строим эпюры (рис.12.10).

Заметим, что при построении эпюр для узла 3 уравнения равновесия не составлялись. Эти уравнения служат для проверки. Узел должен находиться в равновесии под действием внешних (сосредоточенных) и внутренних искомых сил и моментов(рис.12.9).

Рис12..9 Узел 3

, .   , 0=0.

Проверка прочности балки из хрупкого материала

Пример 12. 2. [1].Проверить прочность балки таврового сечения (рис.12.11), изготовленной из чугуна. Расчетное сопротивление на растяжение , расчетное сопротивление на сжатие .

Рис.12.11 Балка таврового сечения

Решение. Определяем опорные реакции:

, , , ;

, , , .

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.12.12).

Рис.12.12 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Вычисляем статический момент тавра относительно вспомогательной оси (рис.5а) . Площадь сечения . Координата центра тяжести . Главный центральный момент инерции

.

Координаты точек сечения наиболее удаленных от нейтральной оси : , .

Моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси для нижних и верхних волокон , :

,

Рис. 12.13 Эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях

При проверке прочности балки из хрупкого материала опасными являются сечения с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине отрицательным изгибающим моментом. В данной задаче таковыми являются сечение , и сечение , .

Строим эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях (рис.12.13,б).

1) Сечение с наибольшим по абсолютной величине изгибающим моментом. Нормальные напряжения в точках 1 и 2:

, , прочность обеспечена.

, прочность обеспечена.

2) Сечение с наибольшим положительным изгибающим моментом. Нормальные напряжения в точках 1 и 2:

, прочность не обеспечена.

, прочность обеспечена.