Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях

Пусть в рассматриваемом сечении известны усилия: . Выразим через них напряжения . С учетом формул (9.1), (9.2), (3.6) получим:

(9.3)

Обозначим для данного сечения постоянные:

;

;

.

(9.4)

Перепишем (9.3) с учетом обозначений (9.4)

(9.5)

Формула (9.5) показывает, что изменяется по закону плоскости, определяемой тремя константами: . Для определения констант необходимо потребовать, чтобы приводились к трем силовым факторам (см. формулы 1.2)

(9.6)

Формулы (9.6) следуют из рис. 9.4

Рис. 9.4 Напряжения в поперечном сечении распределены по линейному закону

Подставляем последовательно выражение для напряжений(9.5) в формулы (9.6) . В результате получим:

(9.7)

С учетом выражений для геометрических характеристик поперечных сечений будем иметь:

; ; .

(9.8)

В уравнениях (9.8) введены следующие обозначения: площадь и статические моменты площади относительно осей z и y

A= ;

;

;

(9.9)

осевые и центробежный моменты инерции

;

;

.

(9.10)

Будем считать, что оси z,y главные центральные оси, тогда

.

(9.11)

В результате система (9.8) распадается на три независимых уравнения, из которых находим:

(9.12)

Подстановка выражений (9.12) в формулу (9.5) дает общую формулу для нормальных напряжений

y+ z

(9.13)

Плоскости z-x, y-x, содержащие ось стержня и одну из главных осей сечения, называются главными плоскостями изгиба стержня.

В формуле (9.13) растягивающая продольная сила N положительна, изгибающие моменты также положительны, если они в точке, принадлежащей первой четверти осей координат (гдеz>0,y>0), вызывают растягивающие напряжения (см.рис.9.4).