Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.

Рассмотрим задачу определения нормальных напряжений в произвольной точке К поперечного сечения прямого стержня в общем случае его нагружения (рис. 9.1). Наряду с напряжение на площадках параллельных оси стержня развиваются напряжения . Однако опыт показывает, что на основной части длины стержня эти напряжения, как правило, бывают значительно меньше напряжений . Поэтому в расчетной модели стержня пренебрегаем влиянием напряжений на деформацию элемента, т.е. в формуле обобщенного закона Гука для получаем:

(9.1)

Рис. 9.1 Напряжения малы по сравнению с

Рис. 9.2 Иллюстрация к гипотезе плоских сечений

Допущение (9.1) называют гипотезой о ненадавливании продольных волокон:

волокна стержня, параллельные его оси, испытывают деформацию растяжения – сжатия в продольном направлении и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении.

Вторая важнейшая гипотеза о характере деформирования модели стержня это гипотеза плоских сечений (рис. 9.2):

поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными искривленной оси балки после деформации.

Это положение позволяет рассматривать поперечное сечение стержня как бесконечно тонкое плоское тело (жесткая пластика), имеющее в отношении перемещений конечное число степеней свободы. На рис.9.3, а-в показаны три характерных перемещения сечения (с координатой x): продольное поступательное перемещение и два поворота на углы .

Рис. 9.3 Три независимых перемещения плоского сечения и перемещение точки К от поворота на угол

На рис. 9.3, г показана проекция сечения, повернутого на угол при взгляде на сечение вдоль оси z. Произвольная точка К, имеющая координату y >0, получит отрицательное перемещение ( ),так как это перемещение противоположно оси x. Суммарное перемещение произвольной точки К определится по формуле:

(9.2)

Формула (9.2) есть математическое выражение гипотезы плоских сечений. На рис. 9.4, а представлена модель стержня, иллюстрирующая гипотезу ненадавливания продольных волокон и гипотезу плоских сечений.

Рис. 9.4 Модель стержня

Модель представляет набор жестких пластинок – «поперечных сечений», пространство между которыми заполнено «продольными волокнами», условно изображенными в виде упругих пружин. Деформация растяжения – сжатия продольных волокон происходит за счет относительного перемещения и поворота соседних сечений (рис 9.4, б ).