Классы задач линейной алгебры

При численном решении большого круга задач в конечном итоге происходит их линеаризация, в связи с чем в соответствующих алгоритмах весьма широко используются методы линейной алгебры. В их числе:

• решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);
• вычисление определителей матриц ;
• нахождение обратных матриц ;
• определение собственных значений и собственных векторов матриц ;

Постановка задачи решения СЛАУ: , (1) где ­– квадратная матрица коэффициентов размерности n, – вектор неизвестных, ­– вектор свободных коэффициентов. Иногда СЛАУ представляют в виде расширенной матрицы размерности n × n+1, где в качестве последнего столбца фигурирует вектор свободных коэффициентов­. В координатном представлении такая СЛАУ выглядит следующим образом:

. (2)

Для решения СЛАУ применяют в основном два класса методов: прямые (выполняемые за заранее известное количество действий) и итерационные (обеспечивающие постепенную сходимость к корню уравнения, зависящую от многих факторов). Прямые методы обычно применяются для решения систем порядка n < 200, для бóльших n используются итерационные методы. Перед решением СЛАУ требуется проанализировать корректную постановку задачи:

1) Если – решение существует и единственно. Если же определитель равен нулю, то тогда, если матрица вырождена (т.е. ее можно преобразовать к виду, когда как минимум одна строка коэффициентов – нули) решений бесконечное множество, иначе решения не существует.

2) Если не имеет элементов с большими по модулю значениями – решение устойчиво (см. пример к главе 1). Показателем плохо обусловленных систем является .