Движение заряженной частицы в однородном электромагнитном поле

Рассмотрим движение малой частицы с массой и электрическим зарядом в стационарном однородном электромагнитном поле с напряжённостью электрического поля и индукцией магнитного поля . Вектор напряжённости электрического поля можно разложить на составляющую, параллельную индукции магнитного поля, и перпендикулярную к ней:

(1)

Декартову систему координат для рассматриваемого случая удобно выбрать следующим образом: ось направим вдоль вектора индукции магнитного поля, ось направим вдоль составляющей напряженности электрического поля , а направление оси выберем так, чтобы система координат была «правой». В этой системе координат векторы и имеют проекции:

(2)

Уравнения движения заряженной частицы под действием силы Лоренца запишем в виде:

(3)

В проекциях на соответствующие оси координат уравнение (3) переходит в систему уравнений:

; . (4)

Параметр движения - циклотронная частота. Система уравнений (4) имеет решение:

, (5)

, (6)

. (7)

В приведённых зависимостях величины , и представляют собой проекции вектора скорости частицы в начальный момент времени на соответствующие направления координатных осей. Интегрированием выражений (5)-(7) по времени с учётом начального положения частицы в пространстве получаем зависимости для текущих координат заряженной частицы:

, (8)

, (9)

. (10)

Анализируя системы соотношений (4), (5)-(7) и (8)-(10), отметим, что продольное движение заряженной частицы осуществляется независимо от поперечного движения и является равнопеременным во времени, такое движение рассматривалось в элементарном курсе физики. Уравнения (5)-(6) поперечного по отношению к вектору индукции магнитного поля движения заряженной частицы позволяют проверить, что модуль поперечной скорости частицы остаётся постоянным с течением времени в системе координат , которая движется вдоль оси со скоростью :

. (11)

Скорость системы координат называют скоростью электрического дрейфа заряженной частицы в магнитном поле. Переход в эту систему координат позволяет рассматривать движение заряженной частицы так, как будто бы поперечного электрического поля просто не существует.

Полученный результат справедлив и в общем случае. Пусть , где -постоянный (пока неопределённый) вектор, и справедливо уравнение (3):

. (12)

Потребуем, чтобы выполнялось условие:

. (13)

Умножим каждое слагаемое левой части уравнения (13) векторно на и используем известные тождества векторной алгебры:

. (14)

Одно из решений уравнения (14) можно записать в виде:

. (15)

Общее решение уравнения (14) имеет вид

(16)

Добавка произвольной скорости в продольном направлении никак не сказывается на поперечном движении заряженной частицы, поэтому для определения скорости электрического дрейфа обычно пользуются зависимостью (15).

Уравнения поперечного движения заряженной частицы можно привести к безразмерному виду:

; , (17)

где

, , , . (18)

Параметр в первом из соотношений (17) представляет собой отношение

(19)

и определяет форму траектории заряженной частицы в проекции на плоскость : при имеем удлинённую циклоиду, при - циклоиду, а при - укороченную циклоиду (или трохоиду).

На рисунках 1 и 2 показано различие траекторий положительно и отрицательно заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном однородных полях в отсутствие продольной скорости частицы. Расчёты траекторий выполнены для и для специально выбранных значений начальных поперечных координат и начальных проекций поперечной скорости заряженных частиц. Здесь важно заметить, что направление электрического дрейфа перпендикулярно вектору индукции магнитного поля и вектору поперечного электрического поля и не зависит от знака электрического заряда частицы (в зависимости от знака электрического заряда частицы меняется направление «вращения»). В однородном электромагнитном поле движение заряженных частиц в форме дрейфа происходит с постоянной скоростью «ведущего центра», так называют точку плоскости, вокруг которой имеет место мгновенное вращение заряженной частицы.