Сила Ампера. Закон Био-Савара-Лапласа.

При рассмотрении свойств магнитостатического поля будем исходить из соотношения для элементарной силы взаимодействия двух направленных отрезков контуров и , по которым текут токи и соответственно и которые находятся на расстоянии друг от друга (рис.1):

(1)

Соотношение (1) называют “законом Ампера”. В этом соотношении вектор проводят из начала вектора в начало вектора . Элементарные отрезки и соответствующих контуров предполагаются настолько тонкими, чтобы не было необходимости учитывать распределение силы тока по поперечному сечению каждого проводника.

Закон Ампера (1) является основой физики магнитных явлений подобно тому, как закон Кулона является основой физики электрических явлений.

Исследование свойств магнитного поля является более трудной задачей, чем исследование свойств электрического поля. Если закон Кулона описывает так называемые центральные силы, то закон Ампера описывает силы, не обладающие этим свойством. Если электрическое поле (электростатика) является потенциальным, то магнитное поле совсем не обязано быть таковым. Общее, что имеет место в законе Кулона и законе Ампера - это зависимость “обратных квадратов”. Закон Ампера в форме (1) представляет собой пример сил, не подчиняющихся напрямую третьему закону Ньютона: сила действия здесь не равна силе противодействия. Действительно, если сила пропорциональна двойному векторному произведению , то сила пропорциональна выражению . В силу известного векторного тождества запишем эти выражения в следующем виде

-

- + .

Легко видеть, что соотношение выполняется только для одинаково направленных элементарных отрезков и (т.е. при = , - скаляр), в общем случае рассматриваемая сила действия и сила противодействия не подчиняются третьему закону Ньютона. Интересно при этом заметить, что при попытке рассмотреть силовое взаимодействие двух замкнутых контуров с токами обнаруживается, что третий закон Ньютона выполняется! Это утверждение является прямым следствием закона Ампера и принципом суперпозиции: при интегрировании по первому и второму контуру вклад «несовпадающих» слагаемых обращается в нуль.

Справедливости ради заметим, что сам А.М. Ампер получил совсем другое аналитическое выражение для силы . Его заслугой является экспериментальное доказательство взаимодействия проводника с током с полем постоянного магнита и взаимодействия между собой двух проводников с током. Незадолго до него Эрстед обнаружил влияние тока, текущего в проводнике, на магнитную стрелку. В результате опытов Г. Эрстеда и А.М. Ампера электрические и магнитные явления оказались связанными между собой.

Задолго до опытов А.М. Ампера Ш.О. Кулон проводил эксперименты по взаимодействию между собой постоянных магнитов. Из этих опытов следовало, что, если полюсам магнита приписать значения “магнитных зарядов” разных знаков, то закон обратных квадратов при описании силы их взаимодействия будет выполняться. Ш.О. Кулон отмечал невозможность получить магнит с «зарядом» одного знака.

Успехи механики (закон всемирного тяготения) и электростатики (закон Кулона), опыты Кулона с постоянными магнитами - все это способствовало проявлению инерции мышления, поэтому А.М. Ампер полагал, что сила взаимодействия двух элементов тока должна быть центральной (как сила Кулона). Это предположение А.М. Ампера, как и предположение Ш.О. Кулона о существовании магнитных зарядов, оказалось несостоятельным.

Структура закона Ампера (1) позволяет ввести в рассмотрение дифференциал индукции магнитного поля

(2)

где - магнитная постоянная, - ток, создающий вокруг себя магнитное поле, - вектор, проведенный из элемента контура с током в точку наблюдения. Соотношение (2) называют законом Био-Савара-Лапласа. Зависимость (2) справедлива в системе единиц физических величин СИ, магнитная постоянная обладает физической размерностью и измеряется в единицах (генри на метр). Её величина составляет . Индукция магнитного поля является силовой характеристикой магнитного поля, это векторная величина, обладающая физической размерностью, единица её измерения - Тл – «тесла». В принятых наименованиях единиц измерения увековечена память исследователей электромагнитных явлений Дж. Генри (1797-1878) и Н. Тесла (1856-1943).

Для индукции магнитного поля справедлив принцип суперпозиции, поэтому

(3)

где - контур, по элементам которого течет ток (направление вектора совпадает с направлением тока , более строго: ток течёт в направлении ).

Для тонкого проводника распределение тока по поперечному сечению проводника можно считать равномерным , , . Очевидно, что нормаль к поперечному сечению тонкого проводника совпадает с направлением элементарного отрезка проводника: , в этом случае имеет место соотношение: , где - объемная плотность тока, - элемент объема тонкого проводника. Если проводящее тело нельзя считать тонким проводником, то будем считать справедливым соотношение

. (4)

Для магнитного поля, образованного током проводимости, распределённым по объёму тела с плотностью , принимаем в качестве обобщения экспериментальных результатов зависимости:

, (5)

где - объем тела, в котором текут токи.

Соотношение (1) с учетом определения (2) можно переписать в форме:

, (6)

где элемент тока находится в векторном поле магнитной индукции , в поле, внешнем по отношению к рассматриваемому элементу. Соотношение (6) легко обобщается на случай суммарного воздействия на элемент с током “всех внешних элементов тока”, создающих магнитное поле в соответствии с зависимостью (3):

. (7)

Результирующая сила, действующая на контур с током (замкнутый или незамкнутый) во внешнем магнитном поле с магнитной индукцией определяется по принципу суперпозиции:

. (8)

Заметим, что векторное поле в выражении (8) считается входящим под знак интеграла.

Частным случаем выражения (8) для однородного поля и прямого отрезка проводника является известное из элементарного курса выражение для модуля силы Ампера:

(9)

где - угол между положительным направлением отрезка, совпадающим с направлением тока по проводнику, и вектором магнитной индукции .

Заметим, что соотношение (7) является следствием зависимости, описывающей силу Лоренца

(10)

эта зависимость упоминалась в начале курса. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Если рассматривается система, которая состоит из конечного числа положительных и отрицательных электрических зарядов, то результирующая сила, действующая на систему, может быть записана в виде:

(11)

Выражение (11) справедливо, если размеры электрической системы малы настолько, чтобы можно было считать величины и однородными.

В проводнике любого типа при протекании электрического тока с большой точностью выполняется условие электрической нейтральности. Физически это означает, что выполнено условие

. (12)

Последнее служит объяснением, почему в зависимости (7) не учитывают неподвижные электрические заряды и напряженность электрического поля , даже в том случае, когда поле существует. Перепишем формулу (11) с учетом условия (12):

. (13)

При записи (13) учтено дополнительное предположение, введенное для упрощения выкладок, что все положительные заряды системы равны между собой, все отрицательные заряды системы тоже равны между собой. Важным шагом при построении соотношения (13) явилось введение средней скорости движения положительных и отрицательных электрических зарядов.

Если в качестве системы зарядов рассматривать заряды в металлическом проводнике, то следует положить

(14)

после чего из формул (13) получаем:

, (15)

где - число, - электрический заряд движущихся отрицательных частиц (электронов проводимости).

Для числа таких частиц, где - объемная концентрация электронов проводимости, - площадь поперечного сечения тонкого проводника, - элемент длины проводника, а - элемент объема, легко получить:

(16)

(17)

(18)

С использованием выражений (16)-(18) получаем:

(19)

что совпадает с выражением (7).

При использовании закона Био-Савара-Лапласа (2) и следствий из него (3) или (5) удобно перейти к описанию положения элемента тока и точки

наблюдения М (рис. 2) с помощью понятия “радиус-вектор”. Если - радиус- вектор элемента тока (или ), а - радиус-вектор точки наблюдения, то

, , (20)

,

, , (21)

где и - орты декартовой системы координат. Если уравнение контура задано в параметрической форме

, т. е. , ,

то

(22)

, (23)

что существенно облегчает вычисления.