Распределение электрического тока по проводнику.

В 1848 г. Г. Кирхгоф распространил теорию линейной проводимости Г. Ома на случай проводимости в трёх измерениях. После основополагающей гипотезы Г. Ома о существовании физической аналогии между электрическим током и распространением тепла (теория Фурье) это было не трудно. В случае стационарных электрических токов для величины V(x,y,z) , которую Г. Кирхгоф сначала считал «электроскопической силой», а потом «напряжением», в любом однородном проводнике должно быть справедливо уравнение Лапласа , а на наружной поверхности проводника производная по нормальному направлению должна обратиться в нуль. На поверхности раздела двух разнородных проводников величина V имеет разрыв, равный «контактной силе Вольта» (контактной разности потенциалов), а величина произведения удельной проводимости среды на нормальную производную величины V должна оставаться непрерывной. Описанных уравнений достаточно для определения протекания электрического тока в трёхмерном проводнике.

Основной результат работы Г. Кирхгофа состоит в том, что электрические токи распределяются по проводнику так, чтобы создавать наименьшее возможное количество джоулева тепла, выделяющегося в единицу времени. Поскольку эта величина в линейной теории описывается выражением

, (1)

где функционал определен «на функциях», обладающих описанными выше свойствами, справедлив вариационный принцип

. (2)

Вариационный функционал (1) принимает стационарное значение, когда функция V(x,y,z) удовлетворяет уравнению

. (3)

Уравнение Лапласа получается из уравнения (3) в частном случае постоянной удельной проводимости среды.

Заметим, что изложенные результаты используются в лабораторном практикуме при изучении свойств электростатического поля (электролитическая ванна).

Интересно, что эти результаты исторически были осознаны раньше в теории протекания электрического тока, чем в электростатике. Интересно также и то, что Г. Ом вслед за А. Вольта «электроскопическую силу» ошибочно отождествлял с плотностью электрического заряда, более того, Ом ошибочно считал, что электричество в проводнике находится в состоянии покоя, когда оно равномерно распределено по всему веществу проводника. Всё это, однако, не мешает нам и сегодня считать Г.Ома великим физиком.

Только в 1849 г. Г.Кирхгоф сказал, что «электроскопическая сила» Вольты – это потенциал электрического поля. Г. Гельмгольц показал (1847 г.), что энергия единичного электрического заряда в любой точке пространства пропорциональна потенциалу, а из работ Дж. Джоуля можно заключить, что «напряжение» и «разность потенциалов» - это одно и то же.